幾何学の入り口2'(代数トポロジー)

どうも. またアドカレの記事を書くことになりました. アドカレって6月頃にもあるんですね. クリスマスだけかと思ってました.

まえがき
ホモトピー
ホモトピー同値
弧
弧の演算
弧のホモトピー
ホモトピーと積
ホモトピーとインバース
単位元
基本群
基本群と弧状連結
基本群のホモトピー不変性
具体例
あとがき
おまけ
References

まえがき

今回は代数トポロジーについて雑に書きます. 前回書いた多様体は主に微分幾何に属するもので, トポロジーと並んで幾何学の2大分野となっています. トポロジーが柔らかい幾何学とか言われるのに対して, 微分幾何は硬い幾何学なんて呼ばれたりしますね. なんでかっていうと, 微分幾何は空間の曲がり具合なんかを調べるのであんまり勝手に曲げたりしちゃいけないんですけど, トポロジーは空間の繋がり方や穴の数みたいなぐにゃぐにゃ曲げても変わらない量を扱うからですね. ドーナツとマグカップが同じ形ってのはトポロジーの意味での同じ（同相）ってことです.

さて, 代数トポロジーっていうのはトポロジーの一分野で, その名の通り群とか加群とかの代数的手法を用いて空間の形を調べるものを言います. 本記事ではホモトピーとそれによって成される基本群っていうのについてざっくりと解説して, ボールとドーナツが違う図形であることを確認するのを目標とします. 前提知識は位相空間論と群論の初歩です.

以下, めっちゃよく使う閉区間 $[0,1]\subset\mathbb{R}$ を $I$ とします.

ホモトピー

$X,Yを位相空間,\ f_0,f_1:X\to Yを連続写像とする.$

$f_0がf_1とホモトピックとは,\ 連続写像F:X\times I\to Yが存在して,$

$すべてのx\in Xに対して,\ F(x,0)=f_0(x),\ F(x,1)=f_1(x)となることである.$

$このFをf_0からf_1へのホモトピーといい,\ f_0\simeq f_1と書く.\ これは同値関係である.$

$F$ が連続ってのが大事ですね. $f_0$ と $f_1$ を連続的に繋ぐものがある, って感じです.

ホモトピー同値

$位相空間X,Yがホモトピー同値とは,$

$g\circ f\simeq\mathrm{id}_X,\ f\circ g\simeq\mathrm{id}_Yを満たす連続写像f:X\to Y,g:Y\to Xが存在することである.$

同相はこれがイコールでした. 当然連続写像は自分自身とホモトピックなので, ”同相ならばホモトピー同値”が成り立ちます. 同相もぐにゃぐにゃ曲げていいって意味では結構弱い同一視だったんですが, ホモトピー同値はもっと弱いです. 感覚的には, 曲げるだけじゃなく”潰す”という操作も許されるようになります. 例えば円周（1次元の図形）と円筒（2次元の図形）はホモトピー同値です.

こんな粗い関係を考えて何が嬉しいのかパッと見わからないかもしれません. ですが, ホモトピー同値な図形間で同じになる量”ホモトピー不変量”というのが意外とあります. 今回のメインである基本群もそのひとつです.

図形の分類を行う際に, 例えば同相であることを示したければ同相写像を1個見つけてくればよいです. しかし, 同相でないことを示すためには, どんな写像を持ってきてもそれが同相写像にならないことを言わなければなりません. これは結構大変です. そんな時, 位相不変量（同相な図形間で共有される量）に着目してみましょう. これが異なっていたらどうでしょうか. ”同相ならその量が同じ”なので”その量が異なるなら同相ではない”ことが言えます. そんな感じで図形を直接見るんじゃなくて不変量を調べることで図形を分類するのがトポロジーの主題です.

弧

$Xを位相空間,\ x_0,x_1\in Xとする.\ x_0からx_1への弧とは,$

$連続写像\alpha:I\to Xであって,\ \alpha(0)=x_0,\ \alpha(1)=x_1を満たすものである.$

$またこのときx_0を始点,\ x_1を終点という$

弧をいろんなところに引きたいので, これ以降位相空間は弧状連結としておきます.

弧の演算

$\alpha をx_0からx_1への弧,\ \beta をx_1からx_2への弧とする.\ これらの積\alpha\beta を$

$\alpha\beta(t)=\left\{\begin{array}{l}\alpha(2t)\ \ (0\leq t\leq 1/2)\\ \beta(2t-1)\ \ (1/2 \leq t\leq 1) \end{array}\right.$

$で定める.\ また,\ \alpha^{-1}(t)=\alpha(1-t)と定める.$

積はそのまんま繋ぎ合わせただけですね. 当然, 左の弧の終点と右の弧の始点が一緒じゃないと積は定義できません. インバースは逆に辿っただけです. 始点と終点が逆転します.

さて, さっき写像のホモトピックを定義したんですが, 弧にもホモトピックを定義していきます.

弧のホモトピー

$x_0からx_1への2つの弧\alpha,\beta がホモトピックとは,\ 連続写像F:I\times I\to Xが存在して,$

$全てのt_2\in Iに対して\ F(0,t_2)=x_0,\ F(1,t_2)=x_1\ かつ$

$全てのt_1\in Iに対して\ F(t_1,0)=\alpha(t_1),\ F(t_1,1)=\beta(t_1)$

$が成り立つこと.\ このとき\alpha\simeq\beta と書く.\ これは同値関係である.$

両方 $I$ なので混乱しやすいですね. 実際僕もめちゃくちゃ混乱して証明が書けなくなったりしました. 左の $I$ は $x_0$ から $x_1$ に行く弧としての変数, 右の $I$ は $\alpha$ から $\beta$ への変化具合を表すホモトピーとしての変数です.

弧は紐だとイメージしてください（いくらでも曲げたり伸ばしたりできる）. それをその図形上でぐにゃぐにゃ動かしてぴったり重ねられるのがホモトピックです.

こんな感じに. こいつらはホモトピックです.

ですが, 間に穴があったりしたらそこを通って変形することはできません.

こんな感じに. この場合この2つの弧はホモトピックではありません.

ホモトピーと積

$\alpha_0\simeq\alpha_1,\ \beta_0\simeq\beta_1かつ,\ \alpha_0\beta_0が定義されるとする.$

$このとき,\ \alpha_0\beta_0\simeq\alpha_1\beta_1が成り立つ.$

ホモトピーとインバース

$\alpha_0\simeq\alpha_1ならば,\ \alpha_0^{-1}\simeq\alpha_1^{-1}が成り立つ.$

この同値関係による $\alpha$ の同値類を $\langle\alpha\rangle$ と書くことにすると, $\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle=\langle\alpha\beta\rangle$ と $\langle\alpha\rangle^{-1}=\langle\alpha^{-1}\rangle$ を意味しています. 群っぽい感じがしてきましたか？

単位元

$各x\in Xに対して,\ e_x:I\to Xをe_x(t)=x\ (\forall t\in I)と定める.\ このとき以下が成り立つ.$

$(1)\ \langle\alpha\rangle の始点がx_0ならば,\ \langle e_{x_0}\rangle\langle\alpha\rangle=\langle\alpha\rangle.$

$(2)\ \langle\alpha\rangle の終点がx_1ならば,\ \langle\alpha\rangle\langle e_{x_1}\rangle=\langle\alpha\rangle.$

$(3)\ \langle\alpha\rangle がx_0からx_1への弧ならば,\ \langle\alpha\rangle\langle\alpha^{-1}\rangle=\langle e_{x_0}\rangle,\ \langle\alpha^{-1}\rangle\langle\alpha\rangle=\langle e_{x_1}\rangle.$

$(4)\ (\alpha\beta)\gamma が定義されるならば,\ (\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle)\langle\gamma\rangle=\langle\alpha\rangle(\langle\beta\rangle\langle\gamma\rangle)$

単位元に相当するものと, 結合律についてを言っています. これを用いることで位相空間に次のように群構造を定義できます.

基本群

$Xを位相空間,\ x_0\in Xとする.\ 始点と終点がともにx_0の弧全体の集合を$

$ホモトピーの同値関係\simeq で割ったものは上の積・インバース・単位元で群をなす.$

$これを\pi_1(X,x_0)と書き,\ Xのx_0での基本群と呼ぶ.$

始点と終点が同じ弧をループって言ったりします. 弧に積が定義されるためには左側の終点と右側の始点が一致していなければいけませんでした. ループ同士ならこの問題点は解消され, いつでも積が定義できます. こうしてループを集めたもの（を割ったもの）は群になるわけです.

さて, 点を1個とってくる必要はありますが, 位相空間に群を定めることができました. この点を取ってくるっていうのも実はそう問題じゃなかったりします.

基本群と弧状連結

$Xを弧状連結とする.\ このとき,\ 任意の2点x_0,x_1\in Xに対して,$

$群の同型\pi_1(X,x_0)\simeq\pi_1(X,x_1)が存在する.$

弧で結ぶことができる2点では基本群は変わらないということです. なので弧状連結な空間を考えているときは基点を省いて $\pi_1(X)$ と書くこともあります.

そして次がいちばん大事な定理です.

基本群のホモトピー不変性

$X,Yを弧状連結な位相空間とする.$

$これらがホモトピー同値ならば,\ \pi_1(X)\simeq\pi_1(Y)が成り立つ.$

最初らへんに言ってた「基本群はホモトピー不変量」ってのがこれです. これで図形の分類手段として基本群を扱うことができるようになりました. ですが, ここまでやってきたのはほぼ定義だけで, 具体的に基本群を計算する手段はぜんぜんありません. そのためには被覆空間や, 単体複体といった新しい概念が必要となります. ただこいつらは結構厄介なので, ここでは紹介しません. いつか書くかもしれないですけどね（たぶんない）.

さて, 上記の理由からちゃんとした証明はできないんですが, フワッとした感じで具体例を紹介していきたいと思います.

具体例

(1) $\pi_1(\mathbb{R}^n)=\{e\}$

(2) $\pi_1(S^n)=\{e\}\ \ (n\geq2)$

(3) $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$

(4) $\pi_1(\mathbb{T}^2)=\mathbb{Z}^2$

$S^n$ は $n$ 次元球面で, $\mathbb{T}^2$ はトーラス, いわゆるドーナツです. $S^1\times S^1$ とも書けます. あと, 基本群が自明になる空間を単連結といいます.

(1)についてですが, まあユークリッド空間は真っ直ぐだし穴が空いてたりもしないので紐をどう投げても回収できるでしょう. このくらいフワっといきます.

(2)は, " $n\geq2$ ならどんな風に紐を巻いていても紐の通らない球面上の点が取れる"ということを認めれば楽です（正確には単体複体の理論による）.

$n=1,2$ の場合を描いてみました（伝われ）. $S^n$ から1点を除いたものは $\mathbb{R}^{n-1}$ と同相になるので, (1)から $\pi_1(S^n)=\pi_1(\mathbb{R}^{n-1})=\{e\}$ が言えます.

(3)は, 何周巻くかと整数が1対1に対応することから言えます. 1回も巻かなければ0, 反時計回りに1周巻けば1, 時計回りに1周で-1, ……みたいな感じです. 紐の巻き方で数が数えられるって面白いですね. 仮面ライダークウガでグロンギが数を数える時に使ってた謎の腕輪（今調べたらグゼパっていうらしい）を思い出しました.

(4)は, $\pi_1(X\times Y)\simeq \pi_1(X)\times\pi_1(Y)$ っていう定理を認めれば(3)から直ちに言えます.

さて, ”ドーナツとボールは違う図形”とよく言われますが, 実際いま, 基本群を調べてドーナツ（ $\mathbb{T}^2$ ）とボール（ $S^2$ ）は基本群が異なることを確認しました. この文を数学的にしっかり書くと, " $\mathbb{T}^2とS^2はホモトピー同値ではない$ "となります. これでこの記事の目標が達成できました.

あとがき

なるだけイメージと結びつくようにペイントで描いた図を入れたりしてみましたが, どうでしたでしょうか. 紐を結んで手繰り寄せるイメージや, 図形の分類をする際の不変量の大事さなどを感じ取っていただけたなら幸いです.

おまけ

最近クリアしたエロゲがあるのでその紹介をします. こっちが書きたくて数学のブログ書いてるまである. 前回脅されて書いたって言ってたのアレ嘘です.

蒼の彼方のフォーリズム

蒼の彼方のフォーリズム Perfect Edition - アダルトPCゲーム - FANZA GAMES（旧DMM GAMES.R18）

少女たちが空を駆け、恋を知る物語。

小さかった頃に見上げた空に、

いちばん近くにいるのが、

自分だと思っていた。

これがあれば、どこへでも行けると。

誰よりも先に、彼方へ行けると。

そう、信じていた―――

空を飛ぶことが、自転車に乗るぐらい簡単にできる世界。

そこで流行しているスポーツ『フライングサーカス』。

かつて、そのスポーツで将来を期待されていた主人公は、

圧倒的な敗北による挫折と、ある理由からそこを離れていた。

だが、転校生である倉科明日香と出会い、

空の飛び方を教えるうちに、昔の熱が戻ってくる。

立場が変わっての『フライングサーカス』への出場。

明日香の手を握った主人公は、今度はどこまで高く飛べるのか。

『空を飛ぶ』ことを巡って出会ったふたりと、その仲間たちが贈る青春恋愛物語。

公式サイト「STORY」より：STORY - ＜公式＞蒼の彼方のフォーリズム・あおかなポータルサイト / sprite (aokana.net)

萌えゲーアワード2014で萌えゲーアワード大賞・ユーザー支持賞・11月間賞の3部門を受賞した超名作です. 「恋と選挙とチョコレート」を制作したspriteの2作目になります.

反重力粒子を用いた「アンチグラビトンシューズ」（通称グラシュ）が実用化され, 飛行禁止区域などの制限はあるものの一般人でも気軽に空を飛べるようになった世界のお話です. このグラシュで空を飛びポイントを取り合うスポーツ「フライングサーカス」（通称FC）でスポ根をやろうっていうのがこのゲームの主題となっています. ただ, 上の通り主人公自身がこのスポーツで戦うというわけではなくて, 4人のヒロインたちのコーチ, そしてセコンド（後述）という形で関わることになります.

FCのルール

さて, 好きなところを挙げていきたいんですが, その前にFCがどんなスポーツなのかについて軽く説明しておこうと思います. 基本的にはグラシュを履いた選手が1対1でポイントを取り合うゲームになっていて, 得点の方法は2つあります.

ひとつはブイへのタッチです. 海上の300メートル四方の空域がフィールドとなっており, その各頂点にブイが置かれています. 選手はこの正方形を時計回りに周回し, 相手より早くブイにタッチすることができれば1ポイント, といった感じです. また, その次のブイへのタッチを放棄し, 次のラインにショートカットすることもできます. これをすると相手と接触か交差しないとブイで得点できなくなりますが, 次のラインで待ち構えてドッグファイト（近接戦）に持ち込むことができます.

もうひとつは相手の背中へのタッチです. 背後を取り背中に触れることで1ポイント加算されます. このとき, 触れられた相手は激しく吹き飛ばされます. まあこれは背後からに限った話ではなくて, グラシュで飛んでいる人同士がぶつかると反重力粒子のなんやかんやで激しく反発します.

前者を得意とする選手をスピーダー, 後者を得意とする選手をファイター, 状況に応じてどちらもバランスよく行う選手をオールラウンダーといいます. 1試合は10分間で, その間により多く得点したほうが勝ちとなります. 試合終了時に同点の場合は5分間の延長線が行われ, それでも決着がつかない場合は先に得点したほうが勝ちのサドンデスマッチになります.

また, 選手の他にも”セコンド”と呼ばれる地上から指示を出す人がいます. FCは空で行われるので, 他のスポーツと比べ相手を見失いやすいという特徴があります. このため試合は選手＋セコンドのタッグで行われることが殆どです. 最初の方に述べたように, 主人公は試合ではセコンドとして参戦します.

なんか全然軽くなくなってしまった. まあ読み飛ばしても多分そんなに問題はないです. じゃあ良かったところを挙げていきます.

FCの作り込みの深さ

ルールの説明がこんな長大になってしまったように, このFCという架空のスポーツ, 非常によく練られています. ここではルールの説明しかしていないのですが, 非常に多くのテクニックや技があり, そのどれもが合理的です. また, それに伴って試合描写がめちゃくちゃリアルです. 実在しないのにリアルだと感じられるくらい, 土台がしっかりとしています. いつの日か反重力粒子が発見され, このスポーツが現実でも出来るようになる日を心待ちにしています. 物理系のみなさん, 頼みました……

スポ根としての面白さ

このゲームのシナリオ, スポ根としてもめっちゃくちゃ面白いです. 主人公の過去の挫折, ヒロインの才能の開花, 強豪校との合宿, 当代最強の選手との練習試合……などなど, しっかりと熱い物語になっています. またそれだけではなく, あるルートでは人と競い合うことの負の面や, 敗北への恐怖といったネガティブな部分も描写されます. そういうのが好きな方には是非オススメです.

曲がいい

WHITE ALBUM2のときも言いましたが, このゲームも曲がいいです. OPテーマの「Wings of Courage」, 挿入歌の「INFINITE SKY」が僕は特に好きです. これがまたゲーム内のいいところで流れるんですよね. シナリオの熱さも相まってめちゃくちゃ燃えます. この2曲にはバラード系のアレンジもあって, しんみりとしたシーンをより感動的に仕上げてくれます. ボーカル曲の話ばかりしてきましたが, BGMもめちゃくちゃいいです. 綺麗なピアノが印象に残ってます.

キャラが可愛い

多く語ることはありません. 僕は明日香を愛しています.

宣伝

これまでのブログで紹介した「装甲悪鬼村正」と「WHITE ALBUM2」は両方ともプレイ時間50時間というクソ長エロゲだったんですが, この「蒼の彼方のフォーリズム」は30時間ほどです. 普通のボリュームですね. 気軽ってほどではないですが, まあ普通のエロゲの感覚で手を伸ばせると思います.

このゲーム, FANZAでDL版が販売されているんですが, なんかいっぱいあります. EXTRAってついてるやつはファンディスクなので, 本編のあとにやるやつです. で, 本編もたくさんあるんですが, おすすめはPerfect EditionかComplete Editionです. Perfect Editionは本編だけ, Complete EditionはEXTRA1がついてちょっとお得になったやつです. EXTRAもやるつもりならComplete一択でしょう. DL EDITIONは最初に出たやつで, Perfectとかはこれをもとに演出を強化したりシナリオを追加したりしたものらしいです（DL EDITIONしかやったことない）. High Resolutionは, Switchなどの家庭用ゲーム機に移植されたやつをもう一度PCに移植し直したやつです. 確かに画質は良いのですが, ひとつ大きな問題があります. えっちなシーンがありません. これは由々しき事態です. せっかくPCでやるからにはR18版をやりましょう. 僕を信じてください.

蒼の彼方のフォーリズム Perfect Edition - アダルトPCゲーム - FANZA GAMES（旧DMM GAMES.R18）

蒼の彼方のフォーリズム Complete Edition - アダルトPCゲーム - FANZA GAMES（旧DMM GAMES.R18）

さて, 見てきた方にはわかると思うんですが, 結構高いです. Perfect Editionで8637円と, 普通にフルプライスです. まあベストプライス版とかでもないので当たり前っちゃ当たり前ですが. しかしここで朗報があります. 体験版がとても大ボリュームなんです. シナリオは全7章で, 6章までが共通ルート, そして各ヒロインの7章がそれぞれある, って感じなのですが, PC版の体験版は3章まで, そしてなんとスマホアプリ版は無料で6章までできます. 共通ルート全部です. 意味分かんないですね. スマホでできるってのも嬉しいところです. 通学途中や空きコマにいかがですか？損はさせません.

蒼の彼方のフォーリズム - Google Play のアプリ

「蒼の彼方のフォーリズム」をApp Storeで (apple.com)

ところでこのゲーム, アニメ化もしており, 全12話とコンパクトにまとまっています. しかし, 明日香ルートをベースに様々なルートの要素を散らせているので, 原作をクリアする前に見ると結構深刻なネタバレになります. なので全クリしてから見ることを強く推奨します.