【Wathematicaアドカレ企画】幾何学の入り口2（多様体）

Preface
級多様体
級写像
接空間
- 定義
- 曲線の速度ベクトル
写像の微分
部分多様体
おわりに
おまけ
References

Preface

こんにちは. 前の記事（位相のやつ）は読んでいただけたでしょうか. まだ読んでないかつ位相を知らないって方はそっちを読んでからの方が読みやすいと思います（位相がわかってる方は別に読まなくても大丈夫です）.

さて, この記事では多様体っていうなんか幾何っぽい数学的対象のお話をします. 純粋数学の3大分野が「代数」「幾何」「解析」っていうのはよく知られていますが, その具体的な内容を見た時に,

「代数は数・式（演算）の一般化：群とか環とか」

「解析は関数の性質を調べたり微分方程式を解いたり」

って感じでこの2つはある程度イメージがつくと思います. でも, 幾何に関しては

「図形の性質を調べる」

……図形って何…？三角形とかそういうやつ…？みたいな感じになるのではないでしょうか. 実際, 解析は微分積分学として, 代数は線形代数として, 1年次から（何なら非数学系でも）講義が設けられているのに対して, 幾何は2年の後ろの方や3年になってからでないと授業でやりません（たぶん）. こういうわけもあって, 幾何は3大分野の一角にも関わらず他の2分野と比べて”な～んか得体のしれないもの”みたいに感じられるのではないでしょうか.

多様体はそんな幾何の対象の1つで, ざっくりいうと「全体には座標が引けないけど, ちっちゃく見ればそこでだけなら座標が引ける」空間のことです（実は全体に座標が引けても多様体の一種ではあるんですが, それはもはやユークリッド空間そのものなのであんまり気にしないことにします）. こいつをこねくり回して, 時には位相やら解析やら代数やらの手を借りて, 色んな性質を見つけ出していくのが多様体論となります.

※この分野はまだ勉強中で, 理解しきってない所とか間違ってる所なんかもあるかもしれません. そういう部分は優しく指摘してくださると助かります.

$C^r$ 級多様体

とりあえず定義を述べます. と言ってもいきなり多様体の定義を述べるには概念が足りないので, まずはそこから.

$Mを位相空間,\ U\subset Mを開集合,\ \varphi: U\to U'\subset \mathbb{R}^mとする.$

$\varphiが同相写像であるとき,\ (U,\varphi)の組をm次元座標近傍という.$

同相写像について言ってなかった気がするので補足しますと, 全単射かつそいつとそいつの逆写像がともに連続になる写像のことです. 位相同型ともいいます.

$U$ は $\mathbb{R}^m$ の部分集合と（位相的に）同じものとみなせる, つまり $U$ 内にもユークリッド空間と同じように座標が引けちゃうってことです.

それじゃあ本題に入ります.

$位相空間Mがm次元多様体であるとは, 以下を満たすことである.$

$(1):\ Mは\mathrm{Hausdorff}空間である.$

$(2):\ 任意のp\in Mに対して,\ pを含むm次元座標近傍(U,\varphi)が存在する.$

前に言ったように, 全体とは言わずともちっちゃく見ればどの点の近くにも座標が引ける, っていうのが多様体ですね. ですが, せっかくユークリッド空間と関連付けているのだから, もっと色んな事を考えたいわけです. 具体的に言うと微分します.

難しい話は置いておいて, 微分っていうのはユークリッド空間からユークリッド空間への関数に対してのみできた操作でしたね. 位相空間とか距離空間とかだとできません（ノルム空間ならできるらしいよく知らないけど）.

さて, どんな風に微分を絡めてあげるかというと, ”座標変換”に整合性を与えてやります. 上の定義だけだと, それぞれの座標近傍の間にな～～んも関連性がありません. そこで, $(U,\varphi),\ (V,\psi)$ を $U\cap V\neq\varnothing$ であるような座標近傍とします.

このとき, $\varphi\circ\psi^{-1}$ は $\mathbb{R}^m\supset\psi(U\cap V)\to\varphi(U\cap V)\subset\mathbb{R}^m$ の”関数”になっているので, 微分を考えられます（ $\psi\circ\varphi^{-1}$ でも同じことです）. これが $C^r$ 級になっている時に, この座標変換を $C^r$ 級であるといいます（ $C^0$ 級を連続関数と考えて, $0\leq r\leq\infty$ ）. 交わっている全ての座標近傍に関してその間の座標変換が $C^r$ 級である時に, この座標近傍達からなる集合族 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ を $C^r$ 級座標近傍系, または $C^r$ 級アトラスっていいます. かっこいいのと画数が少ないので僕はアトラスばっか使ってます.

さて, 道具が揃ったので $C^r$ 級多様体ってのを定義しようと思います.

$位相空間Mがm次元C^r級多様体であるとは, 以下を満たすことである.$

$(1):\ Mは\mathrm{Hausdorff}空間である.$

$(2):\ MはC^r級アトラス\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}によって被覆される.\ すなわち$

$M=\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha$

$が成り立つ.$

位相空間が集合と開集合系の組で定まっていたように, 多様体は集合とアトラスの組によって定まります. ですがめんどくさいのでだいたい集合だけで書きます.

$C^s$ 級写像

さて, 多様体そのものに $C^r$ 級ってのを定めてやったわけですが, 多様体間の写像にも $C^s$ 級を定めてやることができます（ $0\leq s\leq r$ ）. どうやるかというと, とりあえず各点での $C^s$ 級を定めてやります.

$M, Nをそれぞれm次元,\ n次元のC^r級多様体とし,\ f:M\to N,\ p\in Mとする.$

$fがpでC^s級とは,\ 以下を満たすことである.$

$(1):\ pの座標近傍(U,\varphi)とf(p)の座標近傍(V,\psi)が存在して,\ f(U)\subset V$

$(2):\ \psi\circ f\circ\varphi^{-1}がC^s級$

(1)の最後の条件は本質的ではなく, また座標近傍の写像が $C^r$ 級なので, $r$ より大きい $s$ に関する $C^s$ 級っていうのは定義できません.

一応写像そのものが $C^s$ 級であることの定義も述べておきます.

$f:M\to NがC^s級写像であるとは,\ Mの全ての点でC^s級であることである.$

さて, 位相では同相, 線形空間では線形同型などの, その空間の意味で”同じ”であるとみなす概念がありましたね. 多様体間にももちろんこういうのがあります.

$f:M\to NがC^s級微分同相写像であるとは,$

$fが全単射で,\ かつfとf^{-1}がC^s級となることである.$

$このようなfが存在するとき,\ MとNはC^s級微分同相であるという.$

同相写像は, そいつと逆写像が連続になる写像のことでした. $C^s$ 級っていうのは連続写像をもっと強くしたやつなので, そういう意味ではより強く”同じ”であると言えます.

接空間

定義

多様体においてはこいつを調べるのが非常に大切なんですが, なんというか説明が難しいです… 本当にざっくりいうと, 多様体の各点ごとに定まる, その点で接している線形空間のことです. ふわっとしてますね.

ここも厳密な定義を述べようと思ったのですが, ちょっと分量が大変なことになってしまうので軽めの説明で済ませます. 気になる人は自分で調べてね！

まず局所座標表示について補足します. 今までは $(U,\varphi)$ って感じで近傍と写像の2つ組で書いてましたが, ” $U$ 内に座標が引けている”ようなものだったことを思い出して, $(U;x_1,\cdots,x_m)$ みたいに書くことにします. $x_1$ 軸, $x_2$ 軸, … , $x_m$ 軸が引かれているイメージです. 座標変換を扱う際はさっきの記法の方が良かったりするのですが, そういう議論は面倒な割に面白くない（主観）ので, ここで紹介する諸性質が局所座標のとり方によらないことは認めていきます.

さて接空間の定義に入ります. ざっくりですけどね. とりあえず $p\in M$ における接空間を $T_p(M)$ と書くことにしましょう. こいつは,

$Mから\mathbb{R}へのC^r級写像を受け取って実数を返す写像（の一部）$

でできています. ややこしいですね. そうなんだ～くらいに思っといてください. ここで, こいつは線形空間なので, 基底があります（本当は論理が逆で, 以下の線形独立なベクトルで生成される部分空間として定義されます）. それがどんなものかというと, 「 $f:M\to\mathbb{R}:C^r$ 級を受け取ったら $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(p)$ を返す」合計 $m$ 個の写像で構成されています. そのそれぞれを $\left(\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)_p$ って書きます. あらためて書くと

$\left(\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)_p(f)=\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(p)$

こうです.

定義としてはこんな感じなんですが, これを頑張って噛み砕かなくても, 基本的には「その点で接している空間の基底」ぐらいにイメージしておいて, 具体的な計算が必要になったらここに戻ってくる, くらいの感じでいいと思います.

曲線の速度ベクトル

少し唐突かもしれませんが, $M$ 上の曲線を考え, そいつのある点での”速度”を考えます.

$c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M\ を,\ c(0)=pであるようなC^r級曲線とする.$

$cのpでの速度ベクトル\left.\dfrac{dc}{dt}\right|_0を,\ f\mapsto \dfrac{d(f\circ c)}{dt}(0)\ で定める.$

$f\circ c$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}$ なので, （常）微分ができます. それを用いて接空間上のベクトルに対応させてやるわけですね. これだけだと速度っていうのがピンと来ない人も多いと思います. そこで次の定理を紹介します.

定理1

$cの局所座標表示をc(t)=(x_1(t),\cdots,x_m(t))とする.$

$このとき,\ \left.\dfrac{dc}{dt}\right|_0=\displaystyle\sum_{i=1}^m\dfrac{dx_i}{dt}(0)\left(\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)_p\ が成り立つ.$

要するに速度ベクトルの各成分が $\dfrac{dx_i}{dt}(0)$ で表されるってことですね. よく見知った速度ベクトルもこうだったと思います.

さてもう一つ, 次説明する「写像の微分」ってのを考えるために大事な定理があります.

定理2

$任意の\boldsymbol{v}\in T_p(M)に対し,\ \left.\dfrac{dc}{dt}\right|_0=\boldsymbol{v}となるM上の曲線cが存在する.$

よくわからない $T_p(M)$ の元でも, そいつに対応する具体的な曲線が存在してくれるっていう定理です. 接空間を”その点で接している空間”って説明したのはこういう背景もあってのことでした.

写像の微分

$M$ と $N$ をそれぞれ $m,n$ 次元の $C^r$ 級多様体とし, さらに $f$ を $M\to N$ の $C^r$ 級写像とします（さっきまでの $f:M\to\mathbb{R}$ とは違うのに注意）. このとき, $f$ の $p\in M$ での微分 $(df)_p$ ってのを考えられます. これは $T_p(M)\to T_{f(p)}(N)$ の線形写像で, その表現行列がヤコビ行列になっていることから「微分」と呼ばれています.

さて, 写像なので定義域の任意の元に値域の元を対応させてやればいいのですが, ちょっと回りくどいことをします.

任意の $\boldsymbol{v}\in T_p(M)$ に対して, 定理2で存在が保証された曲線 $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ をとってきます. これを $f$ で送ってやって, $N$ 上の曲線 $f\circ c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to N$ にしてやります. こいつの $t=0$ すなわち $f(p)$ での速度ベクトル（ $\in T_{f(p)}(N)$ ）を対応させます. この対応の写像を $(df)_p$ と書きます. 改めてまとめますと,

$(df)_p:T_p(M)\to T_{f(p)}(N);\boldsymbol{v}\mapsto\left.\dfrac{d(f\circ c)}{dt}\right|_0$

こうです. さっきも言ったんですが, この線形写像の表現行列はヤコビ行列になってます.

部分多様体

線形空間や位相空間や群などのように, 多様体にも部分空間が定義できます. ですが, 前述のやつらみたいに簡単にはいきません. なぜかっていうと, ”座標を引ける”必要があるからですね.

それでは定義を.

$Nをn次元C^r級多様体,\ LをNの部分集合とする.$

$LがNのl次元C^r級部分多様体であるとは,\ 以下を満たすことである.$

$(1)l=nのとき:\ LがNの開集合となる.$

$(2)0\leq l\lt nのとき:\ 任意のp\in Lに対し,\ pを含むNの座標近傍(U;x_1,\cdots,x_n)が存在して,$

$L\cap U=\{(x_1,\cdots,x_n)\in U|\ x_{l+1}=\cdots =x_{n}=0\}$

$となる.$

部分空間っていうのは, 部分集合に対してそいつ自身がその中で対象の構造を持っているときに定義されるものです. それの多様体バージョンだと, 「その部分集合の中に $l$ 個の座標が引かれている」ってことになります. そのままだと $n$ 個座標が引かれてしまうため, $n-l$ 個を0, つまり意味のない量にして, 次元を落としてやる必要があるわけです. $n=l$ の場合については, その部分集合が開集合じゃないと相対位相を入れた時に全体の意味での開集合と部分空間の意味での開集合が一致しなくなってしまうからこうしているんだと思います.

おわりに

本当はベクトル場とか微分形式についても説明しようかと思っていたのですが, ちょっとこの時点で分量が結構なことになっているのでそれはまたの機会に…（たぶんない）

書き終えてみると本当にただ定義を並べただけというか, 多様体の面白さみたいなものを伝えられた自身がありません. これは僕の知識が足りないのが理由で, もっとちゃんと学んでから書けばよかったなぁと反省しております. ただ, 幾何というものがよくわからない方がこれを読んで少しでも雰囲気とかを掴んでいただけたら幸いです.

おまけ

こっちにもエロゲノベルゲームのことを書けと一族郎党を人質に取られ脅されたのでおすすめについて書きます. 第二弾ですね.

WHITE ALBUM2

Amazon | WHITE ALBUM2 EXTENDED EDITION | アダルトPCゲーム | PCソフト

冷たい風を震わせて、歌が聞こえてきた――

夕暮れの音楽室で俺が奏でるギターに合わせるように。

隣の教室で顔も知らない誰かが奏でるピアノに合わせるように。

屋上から響いてきた、鈴が鳴るように高く澄んだその声は、

バラバラだった俺たち三つの旋律を繋いでくれた。

始まりは、そんな晩秋。

そのとき、誰かが誰かに恋をした。

誰もが一生懸命だった。

誰もが強い気持ちで突き進んだ。

誰もが、ひたむきに、まっすぐに、正直に――

心の底で結ばれ、かけがえのない瞬間を手に入れた。

だからそのとき、誰かが誰かに恋をしてしまった。

一足遅れの、してはいけない恋を。

そして冬――降り積もる雪は、すべての罪を覆い隠し。

やがて春――雪解けと共に、すべての罰を下す。

公式サイト「ストーリー」より：WHITE ALBUM2 -introductory chapter- (aquaplus.jp)

こんな感じの, まあなんというか平たく言ってしまうと三角関係の物語です（これだけだとよくわからないと思うのであらすじをもっとちゃんと知りたい方はWikipediaとかを参照してください）. 結構有名なのでご存じの方も多いのではないでしょうか. この作品は2部（3部？）構成となっており, 高校編であるintroductory chapter, 大学生・社会人編であるclosing chapter（社会人編はcoda）と2分割されて販売されました. ですが安心してください, 全部を統合してさらにあれやこれやがついてくる完全版「Extended Edition」が出ております. 購入の際はこちらを.

巷では「メンタルが健康なときじゃないと出来ないゲーム」「逆流性食道炎を引き起こすゲーム」「ガチで胃薬が必要になるゲーム」などと言われるこのゲームですが, ちょっと盛ってるな～とは思いますがまあだいたいその通りだと思います. 精神へのダメージがなかなかにデカいです. 前回紹介した装甲悪鬼村正も精神にけっこうクるゲームではあるんですが, なんというかジャンルが違う痛みです. ざっくり言うと, 装甲悪鬼村正は非現実的（フィクション的）な痛み, WHITE ALBUM2は現実的な痛みです. 刺さり方が違う…

それじゃあ好きポイントを書き連ねていきます.

キャラの深み？がすごい

ふわっとしててすいません. 説明が難しいんです…

キャラクターの掘り下げ？がすごいしっかりしてて, なんというか”作り物感”がないんですよね. 本当に現実にあったかのようなリアリティがあって, 創作であることを忘れて没頭してしまう. ここまで緻密な作品はそうそうありません.

既プレイの方に向けてになるのですが, 僕はかずさ派です.

シナリオが面白い

わざわざ明言するほどでも無いとは思いますが, シナリオが超面白いです. 平均プレイ時間は50時間にも及びますが, それでいてその厚みは尋常ではありません. 鬱展開がめちゃくちゃある（というか芯がそう）のですが, これは人やその関係にしっかり向き合ったが故です. 場面ごとに一貫してシビアに結論を出しており, これもまたリアリティの一因となっているんだと思います.

曲がいい

この作品, 音楽がだいぶ根幹にあって, 必然的にいろんな曲が出ているんですね. そのどれもこれもめっっっちゃいい. 歌詞もいいし曲もいい. しかも, これはエロゲソングとしては結構珍しいのですが, 各種音楽サブスクにそのほとんどがアップされています. とりあえずアプリを開いて, 「WHITE ALBUM2」で検索してみてください. ちゃんとあるので. そして聞いてみてください.

あ, ゲーム中で初めて聞きたい！って方は聞かなくても大丈夫です. 僕もそっち派です.

とりあえずやれ

ここまで抽象的なことばっか言ってきましたが, これはボリュームが長大すぎるがゆえに内容に触れようとするとネタバレになってしまうからです. なのでとりあえずやってください. そうすればわかります.

とはいえいきなり数千円払うのもなぁ…って思っているそこのあなた, 朗報があります.

高校編であるintroductory chapterに限りますが, なんとアニメ化しています. 13話1クールで見やすい！とりあえずこれを見て, そのあとで後編もとい全部付きのExtended Editionを買うか決めてもいいでしょう.

あ, 前回紹介した装甲悪鬼村正とは違い, DL版は販売されていません. ですがAmazonで普通に買えるのでそんなに気にする必要はないでしょう.

え？エロゲをパッケージ版で買うと親バレの危険がある？いいえそんなことはありません. R18のアイコンはあるものの外見にえっちなあれやこれやは描かれていません. 安心ですね！

なんなら僕に言ってくれれば貸します. アクティベーションキーとかの制限は特になかったはずなので心配はないと思います.

Amazonのリンク：Amazon | WHITE ALBUM2 EXTENDED EDITION | アダルトPCゲーム | PCソフト

それではまたどこかで.

References

[1]松本幸夫, 多様体の基礎, 東京大学出版会, 1988

[2]Amazon, 「WHITE ALBUM2 EXTENDED EDITION」,

https://www.amazon.co.jp/dp/B0788BRGN3 （参照2021-12-08）

[3]Leaf, 「WHITE ALBUM2 introductory chapter『ストーリー』」,

https://leaf.aquaplus.jp/product/wa2ic/story.html （参照2021-12-08）

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