【Wathematicaアドカレ企画】幾何学の入り口1（位相空間）

トポロジーの年齢は？年収は？現在の彼氏は？

数学をしているとよく見かける言葉「位相（トポロジー）」.

意味や定義をよく知らずに使っている方も多いのでは？

数学といえばトポロジー！

せっかくなので調べてみました！

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とまあ茶番はこれくらいにして.

偉い人に脅されたので位相のことをもっとみんなに知ってほしかったので, この記事を書くことにしました.

位相, 数学科はだいたい2年次くらいで習うと思うのですが, 抽象性が結構高いというか, 初めて触れた人にはこんなことやって何が嬉しいのか全くわからないがちだと思います.

僕も最初はそうだったんですけど, 最近位相を使いまくってる感じになってきたので（僕の知っている限りではありますが）その有用性について書いていこうと思います.

トポロジーの年齢は？年収は？現在の彼氏は？
定義
近傍系
具体例
- ・連続写像
  - 補足
- ・Hausdorff性とコンパクト
おまけ
- 装甲悪鬼村正
最後に
References

定義

ざっくりとした説明で済ませるつもりではあるんですが, 一応ちゃんとした定義を書いておきます.

$Sを集合, \ \mathfrak{O}を2^Sの部分集合とする.$

$この組(S,\mathfrak{O})が位相空間であるとは,\ 次の3条件を満たすことである.$

$(O1):\ S,\varnothing\in\mathfrak{O}$

$(O2):\ \forall O_1,O_2\in\mathfrak{O},\ O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$

$(O3):\ \forall \{O_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset\mathfrak{O},\ \displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$

$この\mathfrak{O}を開集合系といい,\ その元を開集合という.$

はい. やったことある人にはお馴染みのやつです. ですが慣れていない人はこれを定義だと言われても「はいそうですか」とはいかないと思います. 数学って結構こんな感じで定義をどーんと出されてとりあえず認めて先に進むってことが多くて, 位相は最初に学ぶそういう感じのやつになりがちなので難しいわけですね.

これは位相に限らず数学全体に言えてくることなんですが, まず集合を与えて, それに何かを"入れる"っていうのがよく出てきます. 入れるものは上のような位相であったり, 演算であったり（群とか環とか）, アトラスっていうかっこいい名前のやつであったり（多様体）します. 集合だけだとできることがあんまり無くて嬉しくないからですね.

開集合の話に戻ります. こういう抽象的な定義ではありますが, イメージとしては”フチのない集合”みたいな感じで基本的に大丈夫です. ただ注意しなきゃいけないポイントが1つあって, 全体集合 $S$ と空集合 $\varnothing$ は開集合ってことですね. それと, 閉集合ってのもありまして, こいつは逆に全部のフチがついている集合です（厳密には開集合の補集合）.

近傍系

位相の決め方は他にも色々あるんですけど, 一番シンプルなのでこの開集合系で定める手法がよく使われます. ですが開集合そのものが嬉しいわけではあんまりなくて, そこから定められる”近傍系”ってのがめちゃくちゃ便利なんですね～

近傍系っていうのは, その点の”ご近所”（集合）を集めた集合族のことで, 全ての点ごとに決まっています. あくまでご近所だってことがわかるだけで, その点とどれくらい近いかがわかるとは限りません. これだけだとわかりにくいと思うので「家」で例えてみますと, ある家の近傍（近所）っていうのは「街」であったり「都道府県」であったりはたまた「地球」であったりします. 感覚的に”近所”とは言いにくいものでも数学的には近所なんですね.

この説明だと”その点を含む集合”は全部近傍なのでは？って思うかもしれません. ですがそうではなくて, まあこれもざっくりしてるんですけど, 「その点がフチにあったら近傍じゃない」っていうイメージをしてください. その点からちょびっとだけなら離れても近傍の中には入ったままって感じですね.

で, こいつがどんな風に使われるかっていうと, 「どんな近傍をとっても」みたいなのが多いです. これのお気持ちとしては, 「どれだけ小さい近傍をとっても」すなわち「どれだけ近い点に対しても」って感じです. さっき近さが決められるとは限らないって言ったんですが, 「いくらでも近く」に点をとれるっていうことですね.

具体例

「いくらでも近く」っていうのを定義できたら何が嬉しいのかを具体的な例を挙げて説明していきます.

・連続写像

$I\subset\mathbb{R}を区間,\ f:\ I\to\mathbb{R}を関数とする.$

$fがa\in Iで連続であるとは,\ 次の条件を満たすことである.$

$\forall \varepsilon \gt 0,\ \exists \delta \gt 0,\ \forall x\in I,\ |x-a|\lt\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|\lt\varepsilon$

親の顔より見た数式って感じですね. 大学に入ったばっかで, 高校数学の感覚が抜けきっていない数学科の1年生の心をへし折ってくるやつです. 見た目はいかついですが言っていることは

$正数\varepsilon がどれだけ小さくとも,\ それに応じてxをaに十分近づければ,$

$f(x)とf(a)の距離は\varepsilon 未満になる$

って感じです. 出ましたね, 「どれだけ小さくとも」とか「十分近づければ」とか.

これはユークリッド空間っていうとっっっても良い性質をもった空間でしか定義されていないので, もっとざっくりとした空間にもこの”連続”っていう概念を拡張したくなってきます. さて, この $\varepsilon$ とか $\delta$ とかの式を近傍の言葉に書き換えてあげるとこうなります.

$S,S'を位相空間,\ f:S\to S'を写像とする.$

$fがa\in Sで連続であるとは,\ 次の条件を満たすことである.$

$\forall N'\in\mathcal{V}(f(a)),\ \exists N\in\mathcal{V}(a),\ f(N)\subset N'$

$(\mathcal{V}(a)は,\ aの近傍系という意味です)$

これで位相空間にまで連続という概念が拡張できました. これが意味するのは,

$f(a)の近傍N'をどれだけ小さくとっても,\ それに応じてaの近傍Nを十分小さくとれば,$

$f(N)はN'に含まれる$

ということです. 言っていることは変わっていないと思います. こんな風に”近さ”（注：”距離”のような具体的なものではない）の概念を拡張できる, っていうのが位相の素晴らしいポイントのひとつですね.

補足

位相空間上の連続写像の定義について, 多くの本では「開集合の逆像が開集合になる」というように導入されます. この定義とさっきの定義は同値になるので（確かめよ）, まあどっちでもいいっちゃどっちでもいいんですが, この定義だと「ある点において連続」が言いにくかったり, また直感的じゃなかったりするので, こんな風に $\varepsilon-\delta$ 論法に近いかたちで説明しました. 連続写像の定義は他にもいろいろあるので, 気になった人は調べてみてください.

・Hausdorff性とコンパクト

分離公理とか連結性とかについても話そうと思ってたんですが, なんか分量がヤバいことになりそうなのでやめておきます. ということで次の記事で扱う多様体に繋げるための「Hausdorff空間」と, なんかめっちゃでてくる「コンパクト」について説明します.

じゃあまず定義から.

$位相空間Sが\mathrm{Hausdorff}空間であるとは,\ 次を満たすことである.$

$Sの任意の相異なる2点について,\ それらの近傍で互いに交わらないものが存在する.$

まあざっくりいうと「違う点同士を分離する集合があるよ」ってことですね. 「当たり前だろ」って思う人が多数だと思いますが, そこが嬉しいんです. 一般の位相空間っていうと, 自由度が高すぎて割と何でもありっていうか, 本当に極端な例を挙げると,

・密着位相：開集合系が全体集合と空集合のみからなる位相

・離散位相：開集合系が冪集合となっている位相

みたいなのも位相になっちゃいます. こんなん調べてもあんまり嬉しくないので, ある程度の”制限”みたいなものを設けることが多々あります. その中に「分離公理」ってのがあって, このHausdorff性は第2分離公理ってやつです. 他のには深入りしないでおきますが, 1だと弱すぎて, 3以降だと強すぎるんだと思います, 多分（正直詳しく知らない）. まあなんか点と点を分離できるのが嬉しいって感じです.

こいつはコンパクトを絡めるとちょっと嬉しいところが見えてきます. じゃあコンパクトの定義を紹介します.

$位相空間Sの部分集合Mがコンパクトであるとは,\ 次を満たすことである.$

$Mの任意の開被覆に対して,\ その中から有限個を取り出してMの開被覆とすることができる.$

$Sがコンパクトになるとき,\ Sをコンパクト空間という.$

（Mの）開被覆って何？っていうのも説明しておきますと, 開集合からなる集合族のことで, そいつら全部の和集合を取るとMを含んでくれるもののことです. この概念は結構難しいと思うのでわかんない人は読み飛ばしちゃって大丈夫です. 開被覆っていうのは一般的には無限個あることも全然あるんですが, Sがコンパクトだったらどんな開被覆に対してもその中から有限個を選んでまたSを覆うことができるってわけですね. これ, 結構強いことを言っていて, 与えられた集合がコンパクトであることを言うのはなかなか難しかったりします. なので, コンパクト性があるとなにが嬉しいのか, っていうのが主題だったりします.

さて, 実際に嬉しさを象徴する定理を紹介していきたいと思います.

定理1

$\mathrm{Hausdorff}空間において,\ コンパクト（部分）集合は閉集合である.$

Hausdorff性を課してやれば, コンパクト $\Rightarrow$ 閉集合っていう関係が成り立ってくれます. 逆は成り立つのかって？まあそう焦らずにもうちょっと待ってね.

定理2

$コンパクト集合に含まれる閉集合はコンパクトである.$

これはHausdorff性はいりません. なんかコンパクトと閉集合に深い関係がありそうな気がしてきましたね.

定理3

$コンパクト集合の連続写像による像はコンパクトである.$

実は, 開集合（または閉集合）の連続像は開集合（閉集合）になるとは限りません. ですが, コンパクト性は連続写像によって保存されてくれます. 嬉しいですね.

そして次がおそらく最強の定理です.

定理4

$ユークリッド空間\mathbb{R}^nにおいて,\ 有界閉集合とコンパクトは同値である.$

さきほど定理1で, Hausdorff空間においてはコンパクト $\Rightarrow$ 閉集合が成り立つと言いましたが, この定理はユークリッド空間ならその逆が成り立ってくれることを主張しています. そう, ユークリッド空間ぐらいにまで条件を強めてやると, このコンパクトっていうよくわからない概念と, 有界閉集合っていう慣れ親しんだ概念が一致してくれるんです. 凄くない？（素）

他にもいろんな定理があって, いろんな嬉しさがあるんですけど, これくらいにしておきます. 最後に1つ, みんな知ってるあの定理が拡張されるってのを紹介して終わりたいと思います.

定理5（最大・最小値の定理）

$Sを位相空間,\ M\subset Sをコンパクト集合,\ f:M\to\mathbb{R}を連続関数とする.$

$このとき,\ fには最大値と最小値が存在する.$

有界閉区間上の連続関数には最大値と最小値が存在する, っていうのは有名ですが, これをもうちょい拡張できます. コンパクトはえらいですね.

おまけ

なんか偉い人に「好きなエロゲノベルゲームについて書け」ってとっても怖く脅されたのでおすすめをひとつ紹介します.

装甲悪鬼村正

Amazon.co.jp: 装甲悪鬼村正限定生産版 : Software

これは英雄の物語ではない。英雄を志す者は無用である。
スラッシュダークADV『装甲悪鬼村正』

超能の鎧「劔冑」を駆る戦士「武者」が戦場を席巻する世界。

非公式の警官を称する男・湊斗景明は、赤い劔冑「村正」を纏い、ある時は卑劣な連続殺人犯に、またある時は軍兵の暴虐に挑み、最強の武者たる己の力をもって打倒する。だが決して、彼が正義を称することはない。「鬼に逢うては鬼を斬り、仏に逢うては仏を斬る」ーー劔冑との合身を果たす時に彼が口にする一句、それは過去を語り未来を予言する、真実の言葉なのである。

彼は殺すのだ。悪だけでなく、悪に虐げられていた善良な人々をも。……これは驚くべきことであろうか？　否。

何故なら彼の劔冑の銘は勢洲右衛門尉村正。

呪われし「妖甲」、かつて大和全土を地獄に変えたことすらある、かの村正なのであるから。

本作は、「劔冑」という特異な鎧から強大な力を与えられた戦士「武者」が支配する世界を舞台に、混沌の時代とその渦中で生きる人々の姿を、そして深紅の武者「村正」を軸にして繰り広げられる激しい斗争を描いたノベルゲームです。

動きのある演出によって切れ味鋭いダーク・ストーリーが綴られます。

公式サイトの作品紹介より：作品紹介 | 装甲悪鬼村正 FullMetalDaemon MURAMASA (fmd-muramasa.com)

こんな感じの作品です. 気になるって人はYouTubeとかでPVやらOPやらを調べてみてね！

まあ概要は上に書かれている通りなので, 僕が個人的に好きだったポイントを書いていきます.

劔冑（つるぎ）がかっこいい！

劔冑って何？って人に軽く説明しますと, 人格のあるパワードスーツみたいなものです（人格のない量産型とかもあるんですけど, 話そうと思ったら無限に話せてしまうので自重）. 身に纏っていないときは動物とかの姿になってます. これがまたメカメカしいというか, めっちゃかっこいいんですね. この状態から装備する時に, ”装甲の構え”ってのをして口上を述べるんですが, これもまたかっこいい！中二病が完治していないあなた, とりあえず画像検索してみてください. しろ.

戦闘描写が異常なまでに細かい

この作品のライターさんである「奈良原一鉄」様なのですが, なんと古流剣術の師範代で, 刀やら斬り合いやらにめっちゃ詳しいんです. そんな彼による戦闘描写は他とは一線を画す精密さを備え, 読み合いの心理描写や実際の剣術に基づく合理的な戦術解説によりまるでその場にいるかのような緊張感を生み出します. ただその分スピード感が失われるので, 人を選ぶところもあります.

深すぎるテーマ

「正義」とは何か？「悪」とは何か？「武」とは何か？争いを止めるにはどうしたらいいのか？そんな重すぎるテーマを扱い, そして本作なりの結論を出しています. 納得する人もいれば, 腑に落ちない人もいるでしょう. この作品を経て, 自分なりの答えを見つけ出してください.

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とりあえずこれをやってみて, 気に入ったら本編の方を購入しましょう. なんというかめっちゃ推してきましたけど, 人を選ぶゲームなのは間違いないですから… もう買っちゃった人は勿体ないので最後までやり遂げましょう.

あ, 最後に一つ, 攻略サイトを見るなとは言いませんが（終盤に見ないと無理だろって所があるので）, とりあえず1つのエンドに到達するまでは見ないことをおすすめします. 攻略情報そのものがネタバレになりかねません.