くびのブログ

数学のこととか…？

日記(12/5)

日記

・今日も9時くらいに起きたけどスマホいじってたら2度寝してしまって12時ごろに起きた 愚かだね

・今日は測度論が休みなので幾何学Cだけだった

・進みが早いのはいつものことなんだけど、今回は度を越して早かった 概念だけざっくり説明して定理を飛ばしたりしないでほしい

・特異ホモロジーの計算を試しにやってみようと思ったらできなかった 抽象的な議論と具体的な計算はまったくの別問題なのだなぁ

・早く帰れたのでブリあら大根をつくった 頭が入らなかったので包丁で頑張って割ったけどめちゃくちゃ大変だった 魚の骨ごときでこんな難しいのに鉄の兜を叩き斬ってた景明さん(装甲悪鬼村正の主人公)はすごいなぁ

・日記書くの飽きてきたんで不定期更新とかにしようかなぁ 少なくともなんもイベントがなかった日は書かなくなると思います

日記(12/4)

日記

・今日はなんと9時くらいに起きた この調子でまともな生活リズムに戻していきたい

・お昼食べてから統計の勉強をした とりあえず久保川の方を読んでます

・わりかし知ってたんで適当に読み飛ばして、演習問題を重点的にやった 確率密度関数とモーメント母関数と平均と分散をひたすら計算してました やっぱり手を動かすのって大事

・SideMのライブを配信で観た ここしばらく熱が落ち着いていたから新曲をちょっと聴くくらいだったんだけど、やっぱりライブを観るとこう、良いなってなる

https://open.spotify.com/track/5xb0pajvByQuLCiksFCcrE?si=PiA1za_MTWiQAP5Dv21wBQ&utm_source=copy-link

おすすめの曲です

日記(12/3)

日記

・今日は5時半に起きて釣りに行った 神奈川の下の方の釣り堀

・マジで寒かった コート羽織ってくればよかったマジで

・結構すぐかかったんだけど引くのが早かったみたいで逃げられてしまった かなり引き付けないといけないんだなぁ

・それから全然釣れなかった

・青魚が放流されるからエサをイワシに変えた方がいいって優しいおじさんが教えてくれた 買ってないって言ったら1匹くれた 実在したんだ……釣り堀の優しいおじさん……

・放流されたのがバカでかいやつで、誰かが引いてる間は絡まらないように仕掛けを上げてなきゃいけなかった

・入れた瞬間すぐにかかるらしくて、かかってる人が釣り上げるのをみんなスタンバイして待ってた

・(一応教えてもらったけど)よくわかんなくてぼけーっと眺めてたらスタッフさんが準備とかいろいろやってくれた やさしい……

・なんとヒットした あわあわしながらスタッフさんの指示に従ってたら釣れました ほぼなんもしてないけどまぁ釣れたからヨシ！

・親父曰くワラサって魚らしい 優しいおじさんとスタッフさんに感謝……

・それ以降な〜〜〜んも釣れなかった 悲しいね

・おまけでタイを1匹もらった 最高か？また来ます

 

・YouTubeの動画見たりしながら捌いた めちゃくちゃ難しかった……

・特に皮を引くのが意味わからんくらいできなくてボロボロになってしまった

・動画で見ると簡単そうなのになぁ 全然思ったようにいかなかった

・刺身とあら汁にした 美味しかったです

 

・イベントがあるとこんなに書くことがあるんだ…… 虚無日との差がすごい

日記(12/2)

日記

・ﾈｺﾁｬﾝに朝方叩き起こされた 叩かれてはないけど

・ﾈｺﾁｬﾝがちっちゃく「ﾆｬｰﾝ」て鳴くだけでバッて目ぇ覚める ヒトはﾈｺﾁｬﾝの奴隷なので

・リビングに連れてって2度寝した 11時過ぎに起きた

・今日は先生が休みで研のゼミが無かったので表現論ゼミを3限からやった スケジュール上は5限スタートらしい

・予習を全くせずにゼミを聞くと、しんどい

・でもいい話だった weightの同値な定義が増えたりした

・突然S_3が生えてきて有限群アレルギーで死にかけたけど別にそんな難しいことをしてるわけでは無かったので耐えた 一生有限群の影に怯えて生きてる

・学読で数理統計の本を借りた 竹村と久保田 ちまちま読みます

・FGOで大奥を進めてたら突然クエストが20個以上生えてきてお前……ってなった イマジナリスクランブルはもう少しサクサク進めたいね

・あ、唐突にアイドルマスターSideMのサブスクが解禁されました なんとほぼ全部あります

https://open.spotify.com/playlist/37i9dQZF1DX2kf10b2iZ8o?si=OU0v2M2aQSeWK2_WaAs4QA&utm_source=copy-link

多分これが公式のおすすめって事なんだと思います ぜひ聴いてみてください Spotifyじゃない人は似たようなプレイリストがあると思うので探してください

・明日は釣りに行くので5時半起きです ……5時半！？(いつも休日は昼まで寝てる)

日記(12/1)

日記

・11時くらいに目が覚めてオッ早めって思ったけど気付いたら12時半くらいになってた 無限の睡眠欲

・ジャッジアイズでフリーパスを入手しようと思ってドローンレースをずっとやってたんですが苦行すぎてイラついてきたのでやめました 早くロストジャッジメントをやりたい(ウィンターセール待ち)

・機械学習の講座をちょっと進めた Pythonってすげ〜って思った もうR使わん

・今日は本当にこれくらいしかしてない…… 割とずっとダラダラしてました まぁこういう日は自動的に役に立つみたいな所があるのでヨシ

・あ、アドカレの記事を書きました 多様体に出てくる関手について、って聞くとめちゃくちゃ難しそうに見えますが、結局矢印をいっぱい書いて繋げて遊ぶだけです ぜひ読んでみてください

https://shtkns.hatenablog.com/entry/easyfunctor

 

余裕があれば曲面論の記事なんかも書きたいですね

日記(11/30)

日記

・起きて時計見たら7時でめっちゃ早起きじゃん！って思ったら11時35分とかだった アホすぎる

・銀杏食べすぎて若干気持ち悪くなった 気のせいくらいではあったけど

・暖房つけてるの忘れててそのまま窓開けてた アホすぎる2

・今日は統計学の勉強をした 宮川基本統計学をクソ雑に読み飛ばしつつ進めてったんだけど、2/3くらい読んだあたりでもっと厳密な本で読みたいなって思ったんでこれ返却して数理統計学の本借りてきます 来年あたりに統計検定1級でも取ろうかな

・Spotifyの今年のまとめが公開されましたね こんな感じでした:

・はじまりのセツナ、マジでいい曲なんですよ…… 心に光を与えてくれる

・Am-F-C-Gのコード進行がマジで好きなんですよね 僕耳コピとか苦手で、聴くだけでコード進行がわかることってほぼないんですけど、この進行だけはわかるようになってきました ビビッときた時に調べるとだいたいコレ

・王道進行も好きです あんまわからんけど

 

・3日に1回くらいエアロバイク漕いで腹筋ローラーやってる 痩せたいので

矢印であそぼう！～多様体の自然な関手のつくりかた～

数学

はじめに

こんにちは. 夏休みで暇になったので前々から考えてた記事を形にしようと思います. いつの間にか夏休みが終わってました. どうして… ズレにズレこんでアドカレで公開することになりました. タイミングが…なくて…

多様体とか関手とか難しそうな言葉が並んでますがあんまり気にしないでください. ゆる～くやっていきます. 前提知識はとくにありません.

 

※この記事では用語とか定義とかを適当に流したり嘘をついたりします. 詳しい方々におかれましてはどうか見逃してください.

 

 

用語

さて, そうは言いましたが軽く用語の説明をしておきます. 多様体とは, まあざっくりいうと「図形」のことです. ボールとかドーナツとかをイメージしてみてください. そして関手とは, ちょっと説明が難しいんですが, 「世界を変換するもの」のことです. なんか中二病みたいで恥ずかしいですね. †世界を変換するもの†

世界っていうのはここでは「モノ」がいくつかあって（1つでもいいけど）, さらにモノとモノを繋ぐ「矢印」があることを指します. また, 終点と始点が同じ矢印は繋ぐことができます. どういうことかというと, fが Aから Bへの矢印で, gが Bから Cへの矢印なら, Aから Cに g\circ fっていう矢印を作ることができるということです.

こんな世界を数学の言葉では「圏」って言ったりします.

さて本題の関手こと†世界を変換するもの†ですが, これはモノを別の世界のモノに, そしてその間の矢印を対応するモノ間の矢印に変換します. 書いてみましょう.

対応するモノに同じ番号を振りました. 矢印の向きは同じにしましたが, 一斉に反対になることもあります. 

矢印 fが関手によって移った先の矢印を f_*って書いたりします. 向きが反対になる場合は上付きで f^*です.

本題

接空間と写像の微分

さて, 本題に入りましょう. モノを多様体, 矢印を（ C^\infty級）写像とする世界を考えます. 多様体 Mに対して点 pを取ると, 接空間 T_pMなるものが定義できます. こいつは線型空間になっていて, 多様体がぐにゃぐにゃしているのに対して線形空間はまっすぐなので扱いやすいんですね. イメージ的にはその点で”接している”空間なんですが, ここでは中身に注目するのであんまり気にしないで大丈夫です.

（基点付き）多様体の世界から線形空間の世界への関手を作っていきます. モノ（ M）の行き先は接空間（ T_pM）としましょう.

モノの行き先が決まったところで, 矢印の行き先を決めたいんですが, そのためには T_pMの中身を具体的に見ていかないといけません. まぁここもざっくりいきます.

T_pMの元（中身の意味）は実は写像で, Mから実数 \mathbb{R}への矢印を受け取って実数を返す”変換器”のようになっています. X_pを T_pMの元, fを Mから \mathbb{R}への矢印とすると, 変換先である X_p(f)が実数になっているということです.

それでは矢印を変換していきましょう. M,\ Nを多様体, Fを Mから Nへの矢印, q=F(p)とします.

F_*を決めるには X_pの行き先 F_*(X_p)を決めればOKです. ここで, T_qNの元は Nから \mathbb{R}への矢印を受け取って実数を返す写像でした. それではそんな矢印 fを食わせてみましょう.

こいつらをつなぎ合わせて実数をゲットしたいわけです. よ～く見てください. X_pは Mから \mathbb{R}への矢印があれば実数を返せました.

Fと fを繋ぐことで欲しい矢印が作れました. そんなわけで, X_pに f\circ Fを食わせてやって得られた実数をこの F_*(X_p)に fを食わせた値としましょう. 式にすると F_*(X_p)(f)=X_p(f\circ F)です. この F_*を Fの微分って呼びます.

どうでしょうか. なんだかとっても”自然”な感じがしませんか？最低限の情報を与えてやれば, そいつらをパズルみたいに組み合わせることで欲しい物が取り出せちゃうんです. 多様体論に限らず, 数学にはこのような”自然さ”があふれています. 高度に抽象化されて意味のわからないことばかりしているイメージのある数学ですが, その根底には”自然な”定義, 発想, 手法が根ざしているんですね.

微分形式の準備：双対空間

この記事の最終目標ことみんな大好き微分形式の説明をしていきたいんですが, その前に線形空間の双対について説明しておかなければなりません. これはもとの線形空間と”鏡合わせ”のようになっている線形空間のことを指しています.

（実）線形空間 Vの双対空間 V^*とは, Vから実数 \mathbb{R}への矢印（線形写像）を集めたものです. ここでまた関手を作っていきましょう. Vの行き先は V^*です. アスタリスクが上付きになっていることから察せるかもしれませんが, 矢印の向きが逆になります.

fを Vから Wへの矢印として, f^*を作っていきます.

\psiを W^*の元, すなわち Wから \mathbb{R}への矢印とします. さっきと同じように f^*(\psi)が Vから \mathbb{R}への矢印になるようにしたいのですが,

もう簡単ですね.

これで無事 Vから \mathbb{R}の矢印を作ることができました. 式にすると f^*(\psi)=\psi\circ fです. こういう矢印の向きを逆にする関手を反変関手と言います.

微分形式

それでは微分形式を定義していきますが, 実は微分形式には次数というものがあって, それが2以上だとテンソル積とか外積代数とか難しいあれこれが必要になってきます. なのであんまり立ち入らずに雑に性質だけ述べていきたいと思います. 要するに嘘をつく宣言です.

k次微分形式を定義する前に, kコベクトルというのを定義します. T_pMの kコベクトルとは, ベクトル（ T_pMの元のこと）を k個受け取って, 実数を返すもののことをいいます（本当はもうちょっと条件がある）. 図にするとこうです.

さっき解説した双対空間は, 1コベクトルを集めたものと言えます.

これで準備が終わったので本題に入ります. k次微分形式とは, Mの各点 pごとに T_pMの kコベクトルを対応させたもののことです. \omega=\{\omega_p\}_{p\in M}と書いたりします. また, 各点に接空間の元を対応させたものをベクトル場といいます. こっちは名前でイメージしやすいですね.

微分形式の引き戻し

接ベクトルは”押し出す”ことができましたが, 微分形式は”引き戻す”ことができます.

多様体 Mと Nがあって, Mから Nへの矢印 Fがあるとしましょう. このとき Nの k次微分形式 \omegaを引き戻して Mの k次微分形式 F^*\omegaが作れます.

Mの各点 pごとに T_pMの kコベクトルを見つけてくればいいので, k個のベクトル X_{p,1},\cdots,X_{p,k}を用意しておきます. あと, 簡単のために q=F(p)としておきましょう.

さて, \omegaは N上の k次微分形式だったので, T_qNの kコベクトル \omega_qがあります. そして, X_{p,i}は F_*によって T_qNに送ることができました. よって \omega_qにベクトル F_*(X_{p,i})を与えることで, ”自然”に実数を得ることができます. 式にすると

(F^*\omega)_q(X_{p,1},\cdots,X_{p,k}):=\omega_q(F_*(X_{p,1}),\cdots,F_*(X_{p,k}))

こうなります.

1次微分形式の場合に, さっきの双対で考えた反変関手を使ってやると,

(F^*\omega)_q(X_p)=\omega_q(F_*(X_p))=(F_*)^*(\omega_q)(X_p)

となって, ベクトルを取らずとも (F^*\omega)_q=(F_*)^*(\omega_q)とできます. だから何だって話ですが…

おわりに

矢印を組み合わせるという”自然な”発想でいろんな関手が作れるということを見てきましたが, なんとなく自然さを感じ取っていただけたでしょうか. ホモロジーとかの話もしたかったんですけど, 僕がそこまで詳しくないのと分量の都合でなくなりました.

 

ではまた次の記事で.

 

おまけのネタがねぇ

 

References

[1]Loring W. Tu 著, 枡田幹也, 阿部拓, 堀口達也 訳, "トゥー多様体", 裳華房, 2019.