2022-11-16

日記(11/15)

日記

・Twitterにすら書かないようなクソどうでもいいことをメモ帳みたいな感じで日記にしていこうと思います

・日記というものを3日以上続けられたことがないのでブログって体ならもうちょい続くんじゃないかっていう知らんけど……

・起きた瞬間から寒かったずっと寒かったら逆にエアコンつけっぱで寝れるのに……

・基礎論は癒しゲーデル数とかいうクソデカ自然数の定義ぐらいまで読んだ

・代数学C2が日に日にわからなくなっていく後半らへんからもう何がどうなってるのかすらわからなかった期末レポート1発で成績が決まるのでこまめに復習しないとやばい(やんない)

・FGOのボックスイベ周回がしんどい DOMANで90+を6積み周回してるんだけどポチ数が多い前の編成の時にもっと回っておくんだった……

・編成と動きを貼っておきますマジでどこに需要があるのか知らんけど……

1Wave: アーラシュS3、スカディS3→アーラシュ、アーラシュ宝具

2Wave: 道満S3、両スカディS1S2→道満、スキル全部使ったスカディとオベロンをオダチェン、オベロンS1、道満宝具

3Wave: スカディS3→道満、オベロンS2S3→道満、礼装スキル1、道満宝具

・書いてて思ったけどこれ周回編成掲示板にでも貼った方がいいな

・空気が乾燥してきて、鼻が出血する→カサブタで気道が狭くなる→はがす→出血するの負のループにハマってしまった誰か助けてください

・うちの犬、誰かが帰った時に狂喜乱舞しすぎてて心配になる

・ヤンニョムチキンを作ったよくわからない感じだった

・マスターデュエルで十二鉄獣を作ったけど回し方がさっぱり分かんなくて3連敗した世界は厳しい

・今日は授業以外でなんも勉強してない気付いたら日付が変わっていた

・読んだ本の感想とか書きたかったのに…… まぁ明日からやりますたぶん

・トゥー多様体とDifferential Geometryの演習問題を解いたやつがどっかにあるんだけど需要ある？あったらちまちま載せてみようかな

2022-08-09

2022春学期の授業の感想

授業の感想

どうも. 忘れかけてましたが今学期の感想も書いていきたいと思います.

時間割
測度論
関数解析
数学基礎論A
代数学C1
計算機概論
幾何学B1
代数学B1
関数論B
離散数学入門
まとめ

時間割

こんな感じです. だいぶ減りました.

測度論

モノの面積を測るということを抽象化して, いろんな図形の面積を測ったり複雑な関数を積分したりしよう！っていう分野です. 通年で, 春学期では可測関数の定義とそのちょっとした性質くらいまでやりました. 数学科の授業にしては珍しく出席があって, 成績の20%分つきます. 対面試験はなくて, 期末レポートの提出で残りの80%が決まるっぽいです.

授業はとてもわかりやすく, 具体例とかイメージとかがたくさん紹介されていました. 進行スピードは結構ゆっくりで, 春学期15回分の内容がシラバスでは9回分でした. シラバスは割と信用なりません.

ゆるゆるでしかもレポート課題だったので特に言うことはありません. 良い授業だったと思います.

関数解析

線形空間に内積で位相を入れて遊ぼう！って感じの分野です. 多分. 測度論は雰囲気がゆるゆるだったんですけどこっちは時間がゆるゆるというか, 大体の授業が10~20分遅れで始まって10~20分くらい早く終わってました. しかも5回くらいODか休みでした.

時間はガバガバでしたが授業はちゃんとしてました. わかりやすかったし内容的にも必要な分をカバーしてました. 2限でたまに起きれなかったので時々休みになるのは正直ありがたかったです.

通年で, 春秋それぞれの期末試験で評価が決まるんですが, 試験の前の週に配られたプリントと全く同じ問題が出ました. なんで？

数学基礎論A

命題論理と述語論理について学んで, 最終的には完全性定理を証明しよう！って感じの授業でした. 最後の方の数週は完全性定理の応用みたいなことをやっていた気がしますが, 難しくてぜんっぜんわかりませんでした.

命題論理までは結構楽しかったんですけど, 述語論理に入ってやたらと複雑になったあたりでしんどくなってきました. 論理式のルールとかが結構ガチガチに定められてて, もうちょい感覚的にやりたいなぁっていうのがありましたね. 証明図を書くのは結構好きでした. Bはとらないつもりですが, 潜りに行こうと思ってます.

授業は, 配られた薄ピンク色の冊子に従って進む感じでした. Moodleでpdf版も配布されていたので忘れたときはそれを見てました. この資料がまた, お気持ちとか重要なところとかが適宜書いてあってめちゃくちゃわかりやすかったです.

成績評価は2回に1回くらい出るレポート課題と対面試験で, 試験では多数決でその冊子と手書きの資料のみ持ち込み可に決まったらしいです（寝坊でいなかった）. 問題量が割と多くて最後まで解き終わりませんでした……

代数学C1

平面三次曲線であそぼう！って感じの授業でした. 具体的には斉次多項式の零点を射影空間に書いてその性質を調べたり, 最終的には楕円曲線暗号の原理をみたりしました. 正標数体での多項式の扱いとか射影空間とかのなんか代数幾何っぽいことがやれて楽しかったです.

課題が毎回出て, その結果で成績が決まります. ただその情報が公開されたのが割と遅くて, 内容の難しさから切る寸前でした. この授業の対面試験とかもう怖くて想像したくない……

授業資料はなんかあるっぽいんですが配る気はないらしく, 板書を写し忘れるとその分が飛んで大変なことになります. 授業スピードもめちゃくちゃ早いので1回も休めませんでした. 今季1,2を争うくらい大変だったんじゃないかな……

計算機概論

TeX, Python, Excelの使い方をかる～く学びます.

フルODで毎週課題が出て, 5回に1回レポート課題つってちょっと重めのやつが出てました. といってもそんなに大変じゃなく, まあ1日あれば終わる感じでした. Excelのところがだいぶめんどくさかったりもしましたが, 全体的にヌルい授業でした. 先生の優しさに存分に甘えていきましょう.

幾何学B1

曲面についてのいろいろなことを学びます. 最初の方はトポロジー的なことを, 以降は曲率とかの解析的なことをやりました. 厳密な数学を展開するっていうよりは, 曲面を通していろんな幾何学にざっくりと触れよう, って感じがしました. 「ガウス驚異の定理」っていう（ふざけた）名前の定理が大きな目標としてあって, そのために第1, 第2基本形式やリーマン接続などを学びました.

授業はTeXで書かれた全体の授業資料pdfと, 毎回配られる（奥さんの）手書きのpdfに沿って行われました. 見やすくて普通にわかりやすかったです. ほぼ毎回課題が出るんですが, その内容が授業中にしか話されずMoodleにも載らなかったので絶起した日なんかは友達に聞く必要がありました. 後期の幾何学B2はもう知ってる内容なので行く気があんまりないんですが, これがあるのでどうしよっかな～と悩んでます.

出席課題50%期末試験50%で成績が決まる予定だったんですが, 試験の数日前に対面試験を中止してレポート課題にすると連絡がありました. 早起きしなくていいし楽になった～とか思ってましたが, 問題がなかなかに重くてしんどかったです.

幾何学にはじめて触れる授業っていうのがよく伝わってくる良い授業だったと思います.

代数学B1

ガロア理論の前準備となる体論を, 代数閉包の存在定理を目標にわちゃわちゃやっていく感じです. 最初の方は数の構成とかをやっててなにしてんの？って思ってました.

先生が群の定義が言えない学生がどうたらみたいな愚痴（？）をよく言っていたのが印象に残っています. 毎回pdfが配られてそれに沿って授業してたんですが, やたら前回の復習が多かったような気がします. なんかそういうゆっくり着実にやるのをコンセプトにしてるらしいです（B2では飛ばすらしい）.

毎授業後の○×クイズ2問と計3回のレポート課題, そして対面試験で成績が決まります. 試験はまあぼちぼちの難易度だったと思います.

あんまり相性がよくなかったのか説明がちょっとわかりにくかったり先生の厳密性のツボがよくわからなかったりで苦手な授業でした. B2はいいかな……

ここまでボロクソ書きましたが, 個人的には体上の多項式環の扱いとか環論の復習とかができたのは割と良かったかなぁって思います.

関数論B

複素関数論です. Aとだいたい一緒なのでそっちを見てください. ローラン展開と留数定理が使えれば単位は来ます.

離散数学入門

グラフ理論の初歩について学びます. YouTubeに講義動画が公開されてて誰でも見ることができます. SuperThanksも投げれます（いいの？）.

小テストが計3回, ボーナス加点用の問題が5つ, そして期末レポートで成績が決まります. 期末レポートは自分で問題を作る感じで, こういうの初めてだったんでちょっと苦戦しました.

授業の感想ですが, 授業動画を全然見てなかったのでなんとも言えないです. 課題のたびに教科書を見たりGoogle先生に聞いたりしてなんとかしてました. 最初の2回分くらいを見た感じとても丁寧に進めていていい感じだったと思います.

個人的にはグラフ理論はあんまり合わなかったですが, 色々新鮮で面白かったです.

まとめ

実は確率統計概論Aってのを取ってたんですが, しんどすぎたので途中で消しました. 確率論はそのうちやりたいのでまた来年取るかもしれないですね.

さて, 全体的に去年よりは楽だったように思います. 必修英語とかが消えたのが大きいですね. 後期もおんなじくらいの忙しさに調整しようと思います.

では.

2022-06-24

幾何学の入り口2'(代数トポロジー)

数学

どうも. またアドカレの記事を書くことになりました. アドカレって6月頃にもあるんですね. クリスマスだけかと思ってました.

まえがき
ホモトピー
ホモトピー同値
弧
弧の演算
弧のホモトピー
ホモトピーと積
ホモトピーとインバース
単位元
基本群
基本群と弧状連結
基本群のホモトピー不変性
具体例
あとがき
おまけ
References

まえがき

今回は代数トポロジーについて雑に書きます. 前回書いた多様体は主に微分幾何に属するもので, トポロジーと並んで幾何学の2大分野となっています. トポロジーが柔らかい幾何学とか言われるのに対して, 微分幾何は硬い幾何学なんて呼ばれたりしますね. なんでかっていうと, 微分幾何は空間の曲がり具合なんかを調べるのであんまり勝手に曲げたりしちゃいけないんですけど, トポロジーは空間の繋がり方や穴の数みたいなぐにゃぐにゃ曲げても変わらない量を扱うからですね. ドーナツとマグカップが同じ形ってのはトポロジーの意味での同じ（同相）ってことです.

さて, 代数トポロジーっていうのはトポロジーの一分野で, その名の通り群とか加群とかの代数的手法を用いて空間の形を調べるものを言います. 本記事ではホモトピーとそれによって成される基本群っていうのについてざっくりと解説して, ボールとドーナツが違う図形であることを確認するのを目標とします. 前提知識は位相空間論と群論の初歩です.

以下, めっちゃよく使う閉区間 $[0,1]\subset\mathbb{R}$ を $I$ とします.

ホモトピー

$X,Yを位相空間,\ f_0,f_1:X\to Yを連続写像とする.$

$f_0がf_1とホモトピックとは,\ 連続写像F:X\times I\to Yが存在して,$

$すべてのx\in Xに対して,\ F(x,0)=f_0(x),\ F(x,1)=f_1(x)となることである.$

$このFをf_0からf_1へのホモトピーといい,\ f_0\simeq f_1と書く.\ これは同値関係である.$

$F$ が連続ってのが大事ですね. $f_0$ と $f_1$ を連続的に繋ぐものがある, って感じです.

ホモトピー同値

$位相空間X,Yがホモトピー同値とは,$

$g\circ f\simeq\mathrm{id}_X,\ f\circ g\simeq\mathrm{id}_Yを満たす連続写像f:X\to Y,g:Y\to Xが存在することである.$

同相はこれがイコールでした. 当然連続写像は自分自身とホモトピックなので, ”同相ならばホモトピー同値”が成り立ちます. 同相もぐにゃぐにゃ曲げていいって意味では結構弱い同一視だったんですが, ホモトピー同値はもっと弱いです. 感覚的には, 曲げるだけじゃなく”潰す”という操作も許されるようになります. 例えば円周（1次元の図形）と円筒（2次元の図形）はホモトピー同値です.

こんな粗い関係を考えて何が嬉しいのかパッと見わからないかもしれません. ですが, ホモトピー同値な図形間で同じになる量”ホモトピー不変量”というのが意外とあります. 今回のメインである基本群もそのひとつです.

図形の分類を行う際に, 例えば同相であることを示したければ同相写像を1個見つけてくればよいです. しかし, 同相でないことを示すためには, どんな写像を持ってきてもそれが同相写像にならないことを言わなければなりません. これは結構大変です. そんな時, 位相不変量（同相な図形間で共有される量）に着目してみましょう. これが異なっていたらどうでしょうか. ”同相ならその量が同じ”なので”その量が異なるなら同相ではない”ことが言えます. そんな感じで図形を直接見るんじゃなくて不変量を調べることで図形を分類するのがトポロジーの主題です.

弧

$Xを位相空間,\ x_0,x_1\in Xとする.\ x_0からx_1への弧とは,$

$連続写像\alpha:I\to Xであって,\ \alpha(0)=x_0,\ \alpha(1)=x_1を満たすものである.$

$またこのときx_0を始点,\ x_1を終点という$

弧をいろんなところに引きたいので, これ以降位相空間は弧状連結としておきます.

弧の演算

$\alpha をx_0からx_1への弧,\ \beta をx_1からx_2への弧とする.\ これらの積\alpha\beta を$

$\alpha\beta(t)=\left\{\begin{array}{l}\alpha(2t)\ \ (0\leq t\leq 1/2)\\ \beta(2t-1)\ \ (1/2 \leq t\leq 1) \end{array}\right.$

$で定める.\ また,\ \alpha^{-1}(t)=\alpha(1-t)と定める.$

積はそのまんま繋ぎ合わせただけですね. 当然, 左の弧の終点と右の弧の始点が一緒じゃないと積は定義できません. インバースは逆に辿っただけです. 始点と終点が逆転します.

さて, さっき写像のホモトピックを定義したんですが, 弧にもホモトピックを定義していきます.

弧のホモトピー

$x_0からx_1への2つの弧\alpha,\beta がホモトピックとは,\ 連続写像F:I\times I\to Xが存在して,$

$全てのt_2\in Iに対して\ F(0,t_2)=x_0,\ F(1,t_2)=x_1\ かつ$

$全てのt_1\in Iに対して\ F(t_1,0)=\alpha(t_1),\ F(t_1,1)=\beta(t_1)$

$が成り立つこと.\ このとき\alpha\simeq\beta と書く.\ これは同値関係である.$

両方 $I$ なので混乱しやすいですね. 実際僕もめちゃくちゃ混乱して証明が書けなくなったりしました. 左の $I$ は $x_0$ から $x_1$ に行く弧としての変数, 右の $I$ は $\alpha$ から $\beta$ への変化具合を表すホモトピーとしての変数です.

弧は紐だとイメージしてください（いくらでも曲げたり伸ばしたりできる）. それをその図形上でぐにゃぐにゃ動かしてぴったり重ねられるのがホモトピックです.

こんな感じに. こいつらはホモトピックです.

ですが, 間に穴があったりしたらそこを通って変形することはできません.

こんな感じに. この場合この2つの弧はホモトピックではありません.

ホモトピーと積

$\alpha_0\simeq\alpha_1,\ \beta_0\simeq\beta_1かつ,\ \alpha_0\beta_0が定義されるとする.$

$このとき,\ \alpha_0\beta_0\simeq\alpha_1\beta_1が成り立つ.$

ホモトピーとインバース

$\alpha_0\simeq\alpha_1ならば,\ \alpha_0^{-1}\simeq\alpha_1^{-1}が成り立つ.$

この同値関係による $\alpha$ の同値類を $\langle\alpha\rangle$ と書くことにすると, $\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle=\langle\alpha\beta\rangle$ と $\langle\alpha\rangle^{-1}=\langle\alpha^{-1}\rangle$ を意味しています. 群っぽい感じがしてきましたか？

単位元

$各x\in Xに対して,\ e_x:I\to Xをe_x(t)=x\ (\forall t\in I)と定める.\ このとき以下が成り立つ.$

$(1)\ \langle\alpha\rangle の始点がx_0ならば,\ \langle e_{x_0}\rangle\langle\alpha\rangle=\langle\alpha\rangle.$

$(2)\ \langle\alpha\rangle の終点がx_1ならば,\ \langle\alpha\rangle\langle e_{x_1}\rangle=\langle\alpha\rangle.$

$(3)\ \langle\alpha\rangle がx_0からx_1への弧ならば,\ \langle\alpha\rangle\langle\alpha^{-1}\rangle=\langle e_{x_0}\rangle,\ \langle\alpha^{-1}\rangle\langle\alpha\rangle=\langle e_{x_1}\rangle.$

$(4)\ (\alpha\beta)\gamma が定義されるならば,\ (\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle)\langle\gamma\rangle=\langle\alpha\rangle(\langle\beta\rangle\langle\gamma\rangle)$

単位元に相当するものと, 結合律についてを言っています. これを用いることで位相空間に次のように群構造を定義できます.

基本群

$Xを位相空間,\ x_0\in Xとする.\ 始点と終点がともにx_0の弧全体の集合を$

$ホモトピーの同値関係\simeq で割ったものは上の積・インバース・単位元で群をなす.$

$これを\pi_1(X,x_0)と書き,\ Xのx_0での基本群と呼ぶ.$

始点と終点が同じ弧をループって言ったりします. 弧に積が定義されるためには左側の終点と右側の始点が一致していなければいけませんでした. ループ同士ならこの問題点は解消され, いつでも積が定義できます. こうしてループを集めたもの（を割ったもの）は群になるわけです.

さて, 点を1個とってくる必要はありますが, 位相空間に群を定めることができました. この点を取ってくるっていうのも実はそう問題じゃなかったりします.

基本群と弧状連結

$Xを弧状連結とする.\ このとき,\ 任意の2点x_0,x_1\in Xに対して,$

$群の同型\pi_1(X,x_0)\simeq\pi_1(X,x_1)が存在する.$

弧で結ぶことができる2点では基本群は変わらないということです. なので弧状連結な空間を考えているときは基点を省いて $\pi_1(X)$ と書くこともあります.

そして次がいちばん大事な定理です.

基本群のホモトピー不変性

$X,Yを弧状連結な位相空間とする.$

$これらがホモトピー同値ならば,\ \pi_1(X)\simeq\pi_1(Y)が成り立つ.$

最初らへんに言ってた「基本群はホモトピー不変量」ってのがこれです. これで図形の分類手段として基本群を扱うことができるようになりました. ですが, ここまでやってきたのはほぼ定義だけで, 具体的に基本群を計算する手段はぜんぜんありません. そのためには被覆空間や, 単体複体といった新しい概念が必要となります. ただこいつらは結構厄介なので, ここでは紹介しません. いつか書くかもしれないですけどね（たぶんない）.

さて, 上記の理由からちゃんとした証明はできないんですが, フワッとした感じで具体例を紹介していきたいと思います.

具体例

(1) $\pi_1(\mathbb{R}^n)=\{e\}$

(2) $\pi_1(S^n)=\{e\}\ \ (n\geq2)$

(3) $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$

(4) $\pi_1(\mathbb{T}^2)=\mathbb{Z}^2$

$S^n$ は $n$ 次元球面で, $\mathbb{T}^2$ はトーラス, いわゆるドーナツです. $S^1\times S^1$ とも書けます. あと, 基本群が自明になる空間を単連結といいます.

(1)についてですが, まあユークリッド空間は真っ直ぐだし穴が空いてたりもしないので紐をどう投げても回収できるでしょう. このくらいフワっといきます.

(2)は, " $n\geq2$ ならどんな風に紐を巻いていても紐の通らない球面上の点が取れる"ということを認めれば楽です（正確には単体複体の理論による）.

$n=1,2$ の場合を描いてみました（伝われ）. $S^n$ から1点を除いたものは $\mathbb{R}^{n-1}$ と同相になるので, (1)から $\pi_1(S^n)=\pi_1(\mathbb{R}^{n-1})=\{e\}$ が言えます.

(3)は, 何周巻くかと整数が1対1に対応することから言えます. 1回も巻かなければ0, 反時計回りに1周巻けば1, 時計回りに1周で-1, ……みたいな感じです. 紐の巻き方で数が数えられるって面白いですね. 仮面ライダークウガでグロンギが数を数える時に使ってた謎の腕輪（今調べたらグゼパっていうらしい）を思い出しました.

(4)は, $\pi_1(X\times Y)\simeq \pi_1(X)\times\pi_1(Y)$ っていう定理を認めれば(3)から直ちに言えます.

さて, ”ドーナツとボールは違う図形”とよく言われますが, 実際いま, 基本群を調べてドーナツ（ $\mathbb{T}^2$ ）とボール（ $S^2$ ）は基本群が異なることを確認しました. この文を数学的にしっかり書くと, " $\mathbb{T}^2とS^2はホモトピー同値ではない$ "となります. これでこの記事の目標が達成できました.

あとがき

なるだけイメージと結びつくようにペイントで描いた図を入れたりしてみましたが, どうでしたでしょうか. 紐を結んで手繰り寄せるイメージや, 図形の分類をする際の不変量の大事さなどを感じ取っていただけたなら幸いです.

おまけ

最近クリアしたエロゲがあるのでその紹介をします. こっちが書きたくて数学のブログ書いてるまである. 前回脅されて書いたって言ってたのアレ嘘です.

蒼の彼方のフォーリズム

蒼の彼方のフォーリズム Perfect Edition - アダルトPCゲーム - FANZA GAMES（旧DMM GAMES.R18）

少女たちが空を駆け、恋を知る物語。

小さかった頃に見上げた空に、

いちばん近くにいるのが、

自分だと思っていた。

これがあれば、どこへでも行けると。

誰よりも先に、彼方へ行けると。

そう、信じていた―――

空を飛ぶことが、自転車に乗るぐらい簡単にできる世界。

そこで流行しているスポーツ『フライングサーカス』。

かつて、そのスポーツで将来を期待されていた主人公は、

圧倒的な敗北による挫折と、ある理由からそこを離れていた。

だが、転校生である倉科明日香と出会い、

空の飛び方を教えるうちに、昔の熱が戻ってくる。

立場が変わっての『フライングサーカス』への出場。

明日香の手を握った主人公は、今度はどこまで高く飛べるのか。

『空を飛ぶ』ことを巡って出会ったふたりと、その仲間たちが贈る青春恋愛物語。

公式サイト「STORY」より：STORY - ＜公式＞蒼の彼方のフォーリズム・あおかなポータルサイト / sprite (aokana.net)

萌えゲーアワード2014で萌えゲーアワード大賞・ユーザー支持賞・11月間賞の3部門を受賞した超名作です. 「恋と選挙とチョコレート」を制作したspriteの2作目になります.

反重力粒子を用いた「アンチグラビトンシューズ」（通称グラシュ）が実用化され, 飛行禁止区域などの制限はあるものの一般人でも気軽に空を飛べるようになった世界のお話です. このグラシュで空を飛びポイントを取り合うスポーツ「フライングサーカス」（通称FC）でスポ根をやろうっていうのがこのゲームの主題となっています. ただ, 上の通り主人公自身がこのスポーツで戦うというわけではなくて, 4人のヒロインたちのコーチ, そしてセコンド（後述）という形で関わることになります.

FCのルール

さて, 好きなところを挙げていきたいんですが, その前にFCがどんなスポーツなのかについて軽く説明しておこうと思います. 基本的にはグラシュを履いた選手が1対1でポイントを取り合うゲームになっていて, 得点の方法は2つあります.

ひとつはブイへのタッチです. 海上の300メートル四方の空域がフィールドとなっており, その各頂点にブイが置かれています. 選手はこの正方形を時計回りに周回し, 相手より早くブイにタッチすることができれば1ポイント, といった感じです. また, その次のブイへのタッチを放棄し, 次のラインにショートカットすることもできます. これをすると相手と接触か交差しないとブイで得点できなくなりますが, 次のラインで待ち構えてドッグファイト（近接戦）に持ち込むことができます.

もうひとつは相手の背中へのタッチです. 背後を取り背中に触れることで1ポイント加算されます. このとき, 触れられた相手は激しく吹き飛ばされます. まあこれは背後からに限った話ではなくて, グラシュで飛んでいる人同士がぶつかると反重力粒子のなんやかんやで激しく反発します.

前者を得意とする選手をスピーダー, 後者を得意とする選手をファイター, 状況に応じてどちらもバランスよく行う選手をオールラウンダーといいます. 1試合は10分間で, その間により多く得点したほうが勝ちとなります. 試合終了時に同点の場合は5分間の延長線が行われ, それでも決着がつかない場合は先に得点したほうが勝ちのサドンデスマッチになります.

また, 選手の他にも”セコンド”と呼ばれる地上から指示を出す人がいます. FCは空で行われるので, 他のスポーツと比べ相手を見失いやすいという特徴があります. このため試合は選手＋セコンドのタッグで行われることが殆どです. 最初の方に述べたように, 主人公は試合ではセコンドとして参戦します.

なんか全然軽くなくなってしまった. まあ読み飛ばしても多分そんなに問題はないです. じゃあ良かったところを挙げていきます.

FCの作り込みの深さ

ルールの説明がこんな長大になってしまったように, このFCという架空のスポーツ, 非常によく練られています. ここではルールの説明しかしていないのですが, 非常に多くのテクニックや技があり, そのどれもが合理的です. また, それに伴って試合描写がめちゃくちゃリアルです. 実在しないのにリアルだと感じられるくらい, 土台がしっかりとしています. いつの日か反重力粒子が発見され, このスポーツが現実でも出来るようになる日を心待ちにしています. 物理系のみなさん, 頼みました……

スポ根としての面白さ

このゲームのシナリオ, スポ根としてもめっちゃくちゃ面白いです. 主人公の過去の挫折, ヒロインの才能の開花, 強豪校との合宿, 当代最強の選手との練習試合……などなど, しっかりと熱い物語になっています. またそれだけではなく, あるルートでは人と競い合うことの負の面や, 敗北への恐怖といったネガティブな部分も描写されます. そういうのが好きな方には是非オススメです.

曲がいい

WHITE ALBUM2のときも言いましたが, このゲームも曲がいいです. OPテーマの「Wings of Courage」, 挿入歌の「INFINITE SKY」が僕は特に好きです. これがまたゲーム内のいいところで流れるんですよね. シナリオの熱さも相まってめちゃくちゃ燃えます. この2曲にはバラード系のアレンジもあって, しんみりとしたシーンをより感動的に仕上げてくれます. ボーカル曲の話ばかりしてきましたが, BGMもめちゃくちゃいいです. 綺麗なピアノが印象に残ってます.

キャラが可愛い

多く語ることはありません. 僕は明日香を愛しています.

宣伝

これまでのブログで紹介した「装甲悪鬼村正」と「WHITE ALBUM2」は両方ともプレイ時間50時間というクソ長エロゲだったんですが, この「蒼の彼方のフォーリズム」は30時間ほどです. 普通のボリュームですね. 気軽ってほどではないですが, まあ普通のエロゲの感覚で手を伸ばせると思います.

このゲーム, FANZAでDL版が販売されているんですが, なんかいっぱいあります. EXTRAってついてるやつはファンディスクなので, 本編のあとにやるやつです. で, 本編もたくさんあるんですが, おすすめはPerfect EditionかComplete Editionです. Perfect Editionは本編だけ, Complete EditionはEXTRA1がついてちょっとお得になったやつです. EXTRAもやるつもりならComplete一択でしょう. DL EDITIONは最初に出たやつで, Perfectとかはこれをもとに演出を強化したりシナリオを追加したりしたものらしいです（DL EDITIONしかやったことない）. High Resolutionは, Switchなどの家庭用ゲーム機に移植されたやつをもう一度PCに移植し直したやつです. 確かに画質は良いのですが, ひとつ大きな問題があります. えっちなシーンがありません. これは由々しき事態です. せっかくPCでやるからにはR18版をやりましょう. 僕を信じてください.

蒼の彼方のフォーリズム Perfect Edition - アダルトPCゲーム - FANZA GAMES（旧DMM GAMES.R18）

蒼の彼方のフォーリズム Complete Edition - アダルトPCゲーム - FANZA GAMES（旧DMM GAMES.R18）

さて, 見てきた方にはわかると思うんですが, 結構高いです. Perfect Editionで8637円と, 普通にフルプライスです. まあベストプライス版とかでもないので当たり前っちゃ当たり前ですが. しかしここで朗報があります. 体験版がとても大ボリュームなんです. シナリオは全7章で, 6章までが共通ルート, そして各ヒロインの7章がそれぞれある, って感じなのですが, PC版の体験版は3章まで, そしてなんとスマホアプリ版は無料で6章までできます. 共通ルート全部です. 意味分かんないですね. スマホでできるってのも嬉しいところです. 通学途中や空きコマにいかがですか？損はさせません.

蒼の彼方のフォーリズム - Google Play のアプリ

「蒼の彼方のフォーリズム」をApp Storeで (apple.com)

ところでこのゲーム, アニメ化もしており, 全12話とコンパクトにまとまっています. しかし, 明日香ルートをベースに様々なルートの要素を散らせているので, 原作をクリアする前に見ると結構深刻なネタバレになります. なので全クリしてから見ることを強く推奨します.

おわりに

なんか過去イチの分量になってしまった気がする. それだけ愛が強いってことで……

初めてゲームでボロボロ泣きました. こんなにいいゲームありません. 今までに紹介したエロゲは結構キワモノだったのですが, これはかなり王道です. 万人におすすめできます.

最近EXTRA2が出ました. ぜひ1と合わせてそちらもよろしくお願いします. 実はEXTRAの方は僕もまだやっていないのでちまちま時間を取りつつやっていきたいと思います.

アドカレ期間に間に合えばもう1本記事を書くかもしれません. そろそろ紹介できるエロゲのストックも少なくなってきました. どうしよう.

References

[1]I. M. Singer, J. A. Thorpe, "Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry", Springer, 1967

[2]sprite, 「蒼の彼方のフォーリズム STORY」 https://aokana.net/story/ （参照2022-06-19）

[3]FANZA, 「蒼の彼方のフォーリズム Perfect Edition」, https://dlsoft.dmm.co.jp/detail/sprite_0004/ （参照2022-06-19）

[4]FANZA, 「蒼の彼方のフォーリズム Complete Edition」, https://dlsoft.dmm.co.jp/detail/sprite_0005pack/ （参照2022-06-29）

[5]Google Play, 「蒼の彼方のフォーリズム for Mobile」, https://play.google.com/store/apps/details?id=net.aokana.sp （参照2022-06-19）

[6]App Store, 「蒼の彼方のフォーリズム for Mobile」,

https://apps.apple.com/jp/app/%E8%92%BC%E3%81%AE%E5%BD%BC%E6%96%B9%E3%81%AE%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0/id1397386633 （参照2022-06-19）

2022-05-04

位相空間論の辞書的なやつ（複素解析用）

数学

お久しぶりです.

アールフォルスの複素解析でゼミをやることになったんですが, 参加者の位相空間論の知識がまちまちだったのでpdfを書きました. せっかくなのでここでも公開しておきます. 事実をひたすら並べてるだけで証明は一切ありませんので必要ならその辺の位相空間論の本を参考にしながら見てください.

間違いとかがあったら教えていただけると幸いです.

1drv.ms

2022-02-01

2021秋学期の授業の感想

授業の感想

Preface

こんにちは. 秋学期も終わり, 春休みに入りましたね（煽りじゃないよ）. いろいろと一区切りついたので, 春と同じく授業の感想を書いていこうと思います.

Preface
時間割
まとめ

時間割

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こんな感じです. 月曜が全休で嬉しい.

代数学序論

通年で, 数学科の必修科目です. 前期と先生が変わり, 黒板ではなくiPad（多分）の画面をプロジェクターに映すスタイルの授業になって, オンデマンドの録画が見やすくなりました. なんというか, 1限なのと, 前日に早起きする習慣がなくなってしまったことで, 途中から全部オンデマンドで受けてました……

内容についてなんですが, 前期で群論が一区切りついたので, 環・体・加群あたりについて一通りやりました. 環っていろんな所に出てくるし, その基本的な考え方も結構使う（気がする）ので, それを基本的なところからわかりやすく解説してくれてとてもありがたかったです. 前期に引き続き, 黄色いテキストがコンパクトかつわかりやすくまとまってて最高.

解析学入門

通年, 数学科の必修科目です. 今学期は, 行列のノルム→不動点定理→常微分方程式って順番でやりました. 不動点定理, とってもいい話だと思います. 存在だけを言ってその具体的な求め方はよく知らない, みたいな定理って結構あると思うんですが, この定理は実用的な求め方も教えてくれます. 級数近似もできて応用上もハッピー！

この不動点定理を使って常微分方程式の解の存在と一意性とかを示していくんですが, 証明がな～～～～～がいんですね. 結構きれいにまとまってはいるんですが, 定理の複雑さからどうしても踏むステップ数が多くなってしまうんだと思います. 授業で聞いてるときなんかは, ひとつひとつの論理は追えるけど気付いたら非自明な結論が導き出されている……って感じでした. あとで自分で勉強したときでもよくわかってなかったりします.

この科目といえばクソむず演習問題（解答なし）ですが, 今学期は意外と控えめだったと思います. あ, ひとつだけエグいのがありました. これには本当に悩まされまして, 先輩に聞いたり先生に直接聞きに行ったり数日間熟成させたりして, 試験の前日にやっと解くことができました. しかもこれ, テストに出たんですよね……（ちょっとだけ簡単にはなってた）.

この科目は対面試験orオンライン試験＋ノート提出を選べたんですが, ノートを出すのがめんどくさかったので対面で受けました. 今回は証明だけではなく微分方程式を実際に解く問題も出ると予告されていたので前期よりはちょっと勉強量を減らしたんですが, こいつが意外と手強くて, だいぶ時間を吸われました……（数学科は計算ができない）.

スパルタではあったんですが, ある程度考えてから聞きに行けばヒントをもらえるし, 解答があるとやっぱり頼っちゃうというか, 自分で限界まで考えるっていうのがとても大事だっていうのが身にしみてわかる授業でした.

基礎物理学B

再履です. 教員ガチャを引き直しました（正確には選べるのでガチャではない）. 最初の剛体の運動はもうすっかり忘れてて大変でしたがあとは資料をしっかり読めば普通にできる感じでした. 数学の知識が増えたので楽になるかな～って思ってたんですがそんなに変わりませんでしたね. 多分ベクトル解析をやってないせい.

関数論A

複素関数についての授業です. 半期で必修……必修だっけ？覚えてないです.

Zoomで外国人の先生がカタコトで複素数についての話をする感じでした. 中間試験と期末試験をやる予定が某ロナで期末が潰れ中間の点数だけで評価が決まることになりました…… そのテストがどんなんだったかというと, 対数・指数・線積分などの計算ができれば満点取れます. コレ数学科の授業？流石に複素解析を何も知らないで進むのはまずい気がするので春休みにアールフォルスを読もうと思ってます.

Academic Reading 2

英語のやつ. CELESEの仰せのままに.

代数学A

もうひとつの代数の授業です. 初週に動画が1本上がり, 翌週にアップロード遅延の連絡があり, そのまま最終週まで音沙汰がありませんでした. そこで出されたレポートで成績が決まるらしいです. 講義動画が合計15本で, 内容は序論とあんま変わらなかったですね.

ベクトル空間と幾何

通年で必修です. 神授業です. 線形代数の続きってことで, 後期はテンソル代数と表現論をやりました. テンソル代数は授業で初めて触れたときは実態がよくわからなくて「なんか多重線形なんだな～」とか雑な理解をしてましたが, 外積代数に入ったり多様体の微分形式で扱ったりするうちにちょっとはわかってきたような気がします. テンソル代数, 幾何やるならめっっっちゃくちゃ使う気がするので授業で扱ってくれて本当にありがたかったです.

表現論はなんというか線形代数と群論が融合した感じのやつで, どっちの知識も当然のように使うのでここが怪しいと大変です. 授業では一般論をやった後に対称群の表現をやりました. 数学あるあるだと思うんですが, 一般論だけやっててもなんか全体像がつかめないというか, これをして何が嬉しいのかがよくわからなかったりするんですよね. まあ一般論っていっても線形代数と群論の応用なので結構楽しかったんですが, 嬉しさはいまいちつかめませんでした. リー群の表現をやってみたいので自主ゼミでFulton-Harrisを読んでるんですが, 行間がものすごくてこの授業のありがたさが身に染みる……

先生がものすごく優しいし, だいたい毎回出る課題にもフィードバックが返ってきます. 採点ミスで2回ほど0点になったことがあったんですが, それを先生に伝えたらちゃんと100点になって返ってきました.

多変数解析

多変数の微分積分をやると見せかけてなんかめっちゃいろんなことやります. 後期は微分形式とフーリエ解析についてやりました. もはや解析学概論だと思います. 成績は出された演習問題から2題選んで解いて出すことで決まります. 授業資料がもう字がびっちり詰まってて読みにくい……

CBD2

グループでアンケートを取ってプレゼンをしたり一人で実験？をしてプレゼンをしたりします. 一番しんどかった. この授業に心を壊された理工生は数知れないという……

認知心理学2

A群です. 前期と同じく認知心理学について先生が解説してくれます. 授業資料がわかりやすい！

動画の視聴と実験への参加で出席になります. 最後にレポートが出たんですが, これはなかなか大変でした. 出さない神レポより出すゴミの精神を久しぶりに引っ張り出しました……

現代数学演習

半期で必修です. 松坂集合・位相の演習問題を一人ずつ前で解きます. 10人ずつくらいでクラス分けされるんですが, クラス分けテストが簡単すぎて（こんなんでちゃんと実力測れんのか……？）って思ってました. 今でも思ってます. 春に応数の演習科目をとっていたので発表は初めてではなかったんですが, 黒板に書きながら発表をするのは初めてでなかなか難しかったです. 先生がいる分自主ゼミよりちょっと雰囲気締まるしね.

測度と積分入門

半期で応数の科目です. カラテオドリの定理を認めちゃって理論もそこそこにルベーグ積分をできるようになろう！みたいなコンセプトのはずだったんですが, 理論パートが普通に重かったです. 結局そんなに理解してない. まあ3年で数学科の測度論取るんで……

テストでは計算問題（それができる理由を示す必要はある）しか出なかったので実際先生も計算を重視してたっぽいですね. ルベーグ積分って名前をよく聞くよな～くらいの軽い気持ちでとったら解析学入門の次くらいに重くてだいぶ苦しみました.

まとめ

解析に苦しめられた半年でした. まあその分実力はついたと思うのでポジティブにいきます. なんかこれといってここで言いたいこともありませんね. 来年からはA群・英語とオサラバできるので数学パラダイスです. ワクワクが止まりません.

ではまたいつか.

2021-12-11

【Wathematicaアドカレ企画】幾何学の入り口2（多様体）

数学

Preface
級多様体
級写像
接空間
- 定義
- 曲線の速度ベクトル
写像の微分
部分多様体
おわりに
おまけ
References

Preface

こんにちは. 前の記事（位相のやつ）は読んでいただけたでしょうか. まだ読んでないかつ位相を知らないって方はそっちを読んでからの方が読みやすいと思います（位相がわかってる方は別に読まなくても大丈夫です）.

さて, この記事では多様体っていうなんか幾何っぽい数学的対象のお話をします. 純粋数学の3大分野が「代数」「幾何」「解析」っていうのはよく知られていますが, その具体的な内容を見た時に,

「代数は数・式（演算）の一般化：群とか環とか」

「解析は関数の性質を調べたり微分方程式を解いたり」

って感じでこの2つはある程度イメージがつくと思います. でも, 幾何に関しては

「図形の性質を調べる」

……図形って何…？三角形とかそういうやつ…？みたいな感じになるのではないでしょうか. 実際, 解析は微分積分学として, 代数は線形代数として, 1年次から（何なら非数学系でも）講義が設けられているのに対して, 幾何は2年の後ろの方や3年になってからでないと授業でやりません（たぶん）. こういうわけもあって, 幾何は3大分野の一角にも関わらず他の2分野と比べて”な～んか得体のしれないもの”みたいに感じられるのではないでしょうか.

多様体はそんな幾何の対象の1つで, ざっくりいうと「全体には座標が引けないけど, ちっちゃく見ればそこでだけなら座標が引ける」空間のことです（実は全体に座標が引けても多様体の一種ではあるんですが, それはもはやユークリッド空間そのものなのであんまり気にしないことにします）. こいつをこねくり回して, 時には位相やら解析やら代数やらの手を借りて, 色んな性質を見つけ出していくのが多様体論となります.

※この分野はまだ勉強中で, 理解しきってない所とか間違ってる所なんかもあるかもしれません. そういう部分は優しく指摘してくださると助かります.

$C^r$ 級多様体

とりあえず定義を述べます. と言ってもいきなり多様体の定義を述べるには概念が足りないので, まずはそこから.

$Mを位相空間,\ U\subset Mを開集合,\ \varphi: U\to U'\subset \mathbb{R}^mとする.$

$\varphiが同相写像であるとき,\ (U,\varphi)の組をm次元座標近傍という.$

同相写像について言ってなかった気がするので補足しますと, 全単射かつそいつとそいつの逆写像がともに連続になる写像のことです. 位相同型ともいいます.

$U$ は $\mathbb{R}^m$ の部分集合と（位相的に）同じものとみなせる, つまり $U$ 内にもユークリッド空間と同じように座標が引けちゃうってことです.

それじゃあ本題に入ります.

$位相空間Mがm次元多様体であるとは, 以下を満たすことである.$

$(1):\ Mは\mathrm{Hausdorff}空間である.$

$(2):\ 任意のp\in Mに対して,\ pを含むm次元座標近傍(U,\varphi)が存在する.$

前に言ったように, 全体とは言わずともちっちゃく見ればどの点の近くにも座標が引ける, っていうのが多様体ですね. ですが, せっかくユークリッド空間と関連付けているのだから, もっと色んな事を考えたいわけです. 具体的に言うと微分します.

難しい話は置いておいて, 微分っていうのはユークリッド空間からユークリッド空間への関数に対してのみできた操作でしたね. 位相空間とか距離空間とかだとできません（ノルム空間ならできるらしいよく知らないけど）.

さて, どんな風に微分を絡めてあげるかというと, ”座標変換”に整合性を与えてやります. 上の定義だけだと, それぞれの座標近傍の間にな～～んも関連性がありません. そこで, $(U,\varphi),\ (V,\psi)$ を $U\cap V\neq\varnothing$ であるような座標近傍とします.

このとき, $\varphi\circ\psi^{-1}$ は $\mathbb{R}^m\supset\psi(U\cap V)\to\varphi(U\cap V)\subset\mathbb{R}^m$ の”関数”になっているので, 微分を考えられます（ $\psi\circ\varphi^{-1}$ でも同じことです）. これが $C^r$ 級になっている時に, この座標変換を $C^r$ 級であるといいます（ $C^0$ 級を連続関数と考えて, $0\leq r\leq\infty$ ）. 交わっている全ての座標近傍に関してその間の座標変換が $C^r$ 級である時に, この座標近傍達からなる集合族 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ を $C^r$ 級座標近傍系, または $C^r$ 級アトラスっていいます. かっこいいのと画数が少ないので僕はアトラスばっか使ってます.

さて, 道具が揃ったので $C^r$ 級多様体ってのを定義しようと思います.

$位相空間Mがm次元C^r級多様体であるとは, 以下を満たすことである.$

$(1):\ Mは\mathrm{Hausdorff}空間である.$

$(2):\ MはC^r級アトラス\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}によって被覆される.\ すなわち$

$M=\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha$

$が成り立つ.$

位相空間が集合と開集合系の組で定まっていたように, 多様体は集合とアトラスの組によって定まります. ですがめんどくさいのでだいたい集合だけで書きます.

$C^s$ 級写像

さて, 多様体そのものに $C^r$ 級ってのを定めてやったわけですが, 多様体間の写像にも $C^s$ 級を定めてやることができます（ $0\leq s\leq r$ ）. どうやるかというと, とりあえず各点での $C^s$ 級を定めてやります.

$M, Nをそれぞれm次元,\ n次元のC^r級多様体とし,\ f:M\to N,\ p\in Mとする.$

$fがpでC^s級とは,\ 以下を満たすことである.$

$(1):\ pの座標近傍(U,\varphi)とf(p)の座標近傍(V,\psi)が存在して,\ f(U)\subset V$

$(2):\ \psi\circ f\circ\varphi^{-1}がC^s級$

(1)の最後の条件は本質的ではなく, また座標近傍の写像が $C^r$ 級なので, $r$ より大きい $s$ に関する $C^s$ 級っていうのは定義できません.

一応写像そのものが $C^s$ 級であることの定義も述べておきます.

$f:M\to NがC^s級写像であるとは,\ Mの全ての点でC^s級であることである.$

さて, 位相では同相, 線形空間では線形同型などの, その空間の意味で”同じ”であるとみなす概念がありましたね. 多様体間にももちろんこういうのがあります.

$f:M\to NがC^s級微分同相写像であるとは,$

$fが全単射で,\ かつfとf^{-1}がC^s級となることである.$

$このようなfが存在するとき,\ MとNはC^s級微分同相であるという.$

同相写像は, そいつと逆写像が連続になる写像のことでした. $C^s$ 級っていうのは連続写像をもっと強くしたやつなので, そういう意味ではより強く”同じ”であると言えます.

接空間

定義

多様体においてはこいつを調べるのが非常に大切なんですが, なんというか説明が難しいです… 本当にざっくりいうと, 多様体の各点ごとに定まる, その点で接している線形空間のことです. ふわっとしてますね.

ここも厳密な定義を述べようと思ったのですが, ちょっと分量が大変なことになってしまうので軽めの説明で済ませます. 気になる人は自分で調べてね！

まず局所座標表示について補足します. 今までは $(U,\varphi)$ って感じで近傍と写像の2つ組で書いてましたが, ” $U$ 内に座標が引けている”ようなものだったことを思い出して, $(U;x_1,\cdots,x_m)$ みたいに書くことにします. $x_1$ 軸, $x_2$ 軸, … , $x_m$ 軸が引かれているイメージです. 座標変換を扱う際はさっきの記法の方が良かったりするのですが, そういう議論は面倒な割に面白くない（主観）ので, ここで紹介する諸性質が局所座標のとり方によらないことは認めていきます.

さて接空間の定義に入ります. ざっくりですけどね. とりあえず $p\in M$ における接空間を $T_p(M)$ と書くことにしましょう. こいつは,

$Mから\mathbb{R}へのC^r級写像を受け取って実数を返す写像（の一部）$

でできています. ややこしいですね. そうなんだ～くらいに思っといてください. ここで, こいつは線形空間なので, 基底があります（本当は論理が逆で, 以下の線形独立なベクトルで生成される部分空間として定義されます）. それがどんなものかというと, 「 $f:M\to\mathbb{R}:C^r$ 級を受け取ったら $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(p)$ を返す」合計 $m$ 個の写像で構成されています. そのそれぞれを $\left(\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)_p$ って書きます. あらためて書くと

$\left(\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)_p(f)=\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(p)$

こうです.

定義としてはこんな感じなんですが, これを頑張って噛み砕かなくても, 基本的には「その点で接している空間の基底」ぐらいにイメージしておいて, 具体的な計算が必要になったらここに戻ってくる, くらいの感じでいいと思います.

曲線の速度ベクトル

少し唐突かもしれませんが, $M$ 上の曲線を考え, そいつのある点での”速度”を考えます.

$c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M\ を,\ c(0)=pであるようなC^r級曲線とする.$

$cのpでの速度ベクトル\left.\dfrac{dc}{dt}\right|_0を,\ f\mapsto \dfrac{d(f\circ c)}{dt}(0)\ で定める.$

$f\circ c$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}$ なので, （常）微分ができます. それを用いて接空間上のベクトルに対応させてやるわけですね. これだけだと速度っていうのがピンと来ない人も多いと思います. そこで次の定理を紹介します.

定理1

$cの局所座標表示をc(t)=(x_1(t),\cdots,x_m(t))とする.$

$このとき,\ \left.\dfrac{dc}{dt}\right|_0=\displaystyle\sum_{i=1}^m\dfrac{dx_i}{dt}(0)\left(\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)_p\ が成り立つ.$

要するに速度ベクトルの各成分が $\dfrac{dx_i}{dt}(0)$ で表されるってことですね. よく見知った速度ベクトルもこうだったと思います.

さてもう一つ, 次説明する「写像の微分」ってのを考えるために大事な定理があります.

定理2

$任意の\boldsymbol{v}\in T_p(M)に対し,\ \left.\dfrac{dc}{dt}\right|_0=\boldsymbol{v}となるM上の曲線cが存在する.$

よくわからない $T_p(M)$ の元でも, そいつに対応する具体的な曲線が存在してくれるっていう定理です. 接空間を”その点で接している空間”って説明したのはこういう背景もあってのことでした.

写像の微分

$M$ と $N$ をそれぞれ $m,n$ 次元の $C^r$ 級多様体とし, さらに $f$ を $M\to N$ の $C^r$ 級写像とします（さっきまでの $f:M\to\mathbb{R}$ とは違うのに注意）. このとき, $f$ の $p\in M$ での微分 $(df)_p$ ってのを考えられます. これは $T_p(M)\to T_{f(p)}(N)$ の線形写像で, その表現行列がヤコビ行列になっていることから「微分」と呼ばれています.

さて, 写像なので定義域の任意の元に値域の元を対応させてやればいいのですが, ちょっと回りくどいことをします.

任意の $\boldsymbol{v}\in T_p(M)$ に対して, 定理2で存在が保証された曲線 $c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ をとってきます. これを $f$ で送ってやって, $N$ 上の曲線 $f\circ c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to N$ にしてやります. こいつの $t=0$ すなわち $f(p)$ での速度ベクトル（ $\in T_{f(p)}(N)$ ）を対応させます. この対応の写像を $(df)_p$ と書きます. 改めてまとめますと,

$(df)_p:T_p(M)\to T_{f(p)}(N);\boldsymbol{v}\mapsto\left.\dfrac{d(f\circ c)}{dt}\right|_0$

こうです. さっきも言ったんですが, この線形写像の表現行列はヤコビ行列になってます.

部分多様体

線形空間や位相空間や群などのように, 多様体にも部分空間が定義できます. ですが, 前述のやつらみたいに簡単にはいきません. なぜかっていうと, ”座標を引ける”必要があるからですね.

それでは定義を.

$Nをn次元C^r級多様体,\ LをNの部分集合とする.$

$LがNのl次元C^r級部分多様体であるとは,\ 以下を満たすことである.$

$(1)l=nのとき:\ LがNの開集合となる.$

$(2)0\leq l\lt nのとき:\ 任意のp\in Lに対し,\ pを含むNの座標近傍(U;x_1,\cdots,x_n)が存在して,$

$L\cap U=\{(x_1,\cdots,x_n)\in U|\ x_{l+1}=\cdots =x_{n}=0\}$

$となる.$

部分空間っていうのは, 部分集合に対してそいつ自身がその中で対象の構造を持っているときに定義されるものです. それの多様体バージョンだと, 「その部分集合の中に $l$ 個の座標が引かれている」ってことになります. そのままだと $n$ 個座標が引かれてしまうため, $n-l$ 個を0, つまり意味のない量にして, 次元を落としてやる必要があるわけです. $n=l$ の場合については, その部分集合が開集合じゃないと相対位相を入れた時に全体の意味での開集合と部分空間の意味での開集合が一致しなくなってしまうからこうしているんだと思います.

おわりに

本当はベクトル場とか微分形式についても説明しようかと思っていたのですが, ちょっとこの時点で分量が結構なことになっているのでそれはまたの機会に…（たぶんない）

書き終えてみると本当にただ定義を並べただけというか, 多様体の面白さみたいなものを伝えられた自身がありません. これは僕の知識が足りないのが理由で, もっとちゃんと学んでから書けばよかったなぁと反省しております. ただ, 幾何というものがよくわからない方がこれを読んで少しでも雰囲気とかを掴んでいただけたら幸いです.

おまけ

こっちにもエロゲノベルゲームのことを書けと一族郎党を人質に取られ脅されたのでおすすめについて書きます. 第二弾ですね.

WHITE ALBUM2

Amazon | WHITE ALBUM2 EXTENDED EDITION | アダルトPCゲーム | PCソフト

冷たい風を震わせて、歌が聞こえてきた――

夕暮れの音楽室で俺が奏でるギターに合わせるように。

隣の教室で顔も知らない誰かが奏でるピアノに合わせるように。

屋上から響いてきた、鈴が鳴るように高く澄んだその声は、

バラバラだった俺たち三つの旋律を繋いでくれた。

始まりは、そんな晩秋。

そのとき、誰かが誰かに恋をした。

誰もが一生懸命だった。

誰もが強い気持ちで突き進んだ。

誰もが、ひたむきに、まっすぐに、正直に――

心の底で結ばれ、かけがえのない瞬間を手に入れた。

だからそのとき、誰かが誰かに恋をしてしまった。

一足遅れの、してはいけない恋を。

そして冬――降り積もる雪は、すべての罪を覆い隠し。

やがて春――雪解けと共に、すべての罰を下す。

公式サイト「ストーリー」より：WHITE ALBUM2 -introductory chapter- (aquaplus.jp)

こんな感じの, まあなんというか平たく言ってしまうと三角関係の物語です（これだけだとよくわからないと思うのであらすじをもっとちゃんと知りたい方はWikipediaとかを参照してください）. 結構有名なのでご存じの方も多いのではないでしょうか. この作品は2部（3部？）構成となっており, 高校編であるintroductory chapter, 大学生・社会人編であるclosing chapter（社会人編はcoda）と2分割されて販売されました. ですが安心してください, 全部を統合してさらにあれやこれやがついてくる完全版「Extended Edition」が出ております. 購入の際はこちらを.

巷では「メンタルが健康なときじゃないと出来ないゲーム」「逆流性食道炎を引き起こすゲーム」「ガチで胃薬が必要になるゲーム」などと言われるこのゲームですが, ちょっと盛ってるな～とは思いますがまあだいたいその通りだと思います. 精神へのダメージがなかなかにデカいです. 前回紹介した装甲悪鬼村正も精神にけっこうクるゲームではあるんですが, なんというかジャンルが違う痛みです. ざっくり言うと, 装甲悪鬼村正は非現実的（フィクション的）な痛み, WHITE ALBUM2は現実的な痛みです. 刺さり方が違う…

それじゃあ好きポイントを書き連ねていきます.

キャラの深み？がすごい

ふわっとしててすいません. 説明が難しいんです…

キャラクターの掘り下げ？がすごいしっかりしてて, なんというか”作り物感”がないんですよね. 本当に現実にあったかのようなリアリティがあって, 創作であることを忘れて没頭してしまう. ここまで緻密な作品はそうそうありません.

既プレイの方に向けてになるのですが, 僕はかずさ派です.

シナリオが面白い

わざわざ明言するほどでも無いとは思いますが, シナリオが超面白いです. 平均プレイ時間は50時間にも及びますが, それでいてその厚みは尋常ではありません. 鬱展開がめちゃくちゃある（というか芯がそう）のですが, これは人やその関係にしっかり向き合ったが故です. 場面ごとに一貫してシビアに結論を出しており, これもまたリアリティの一因となっているんだと思います.

曲がいい

この作品, 音楽がだいぶ根幹にあって, 必然的にいろんな曲が出ているんですね. そのどれもこれもめっっっちゃいい. 歌詞もいいし曲もいい. しかも, これはエロゲソングとしては結構珍しいのですが, 各種音楽サブスクにそのほとんどがアップされています. とりあえずアプリを開いて, 「WHITE ALBUM2」で検索してみてください. ちゃんとあるので. そして聞いてみてください.

あ, ゲーム中で初めて聞きたい！って方は聞かなくても大丈夫です. 僕もそっち派です.

とりあえずやれ

ここまで抽象的なことばっか言ってきましたが, これはボリュームが長大すぎるがゆえに内容に触れようとするとネタバレになってしまうからです. なのでとりあえずやってください. そうすればわかります.

とはいえいきなり数千円払うのもなぁ…って思っているそこのあなた, 朗報があります.

高校編であるintroductory chapterに限りますが, なんとアニメ化しています. 13話1クールで見やすい！とりあえずこれを見て, そのあとで後編もとい全部付きのExtended Editionを買うか決めてもいいでしょう.

あ, 前回紹介した装甲悪鬼村正とは違い, DL版は販売されていません. ですがAmazonで普通に買えるのでそんなに気にする必要はないでしょう.

え？エロゲをパッケージ版で買うと親バレの危険がある？いいえそんなことはありません. R18のアイコンはあるものの外見にえっちなあれやこれやは描かれていません. 安心ですね！

なんなら僕に言ってくれれば貸します. アクティベーションキーとかの制限は特になかったはずなので心配はないと思います.

Amazonのリンク：Amazon | WHITE ALBUM2 EXTENDED EDITION | アダルトPCゲーム | PCソフト

それではまたどこかで.

References

[1]松本幸夫, 多様体の基礎, 東京大学出版会, 1988

[2]Amazon, 「WHITE ALBUM2 EXTENDED EDITION」,

https://www.amazon.co.jp/dp/B0788BRGN3 （参照2021-12-08）

[3]Leaf, 「WHITE ALBUM2 introductory chapter『ストーリー』」,

https://leaf.aquaplus.jp/product/wa2ic/story.html （参照2021-12-08）

2021-12-04

【Wathematicaアドカレ企画】幾何学の入り口1（位相空間）

数学

トポロジーの年齢は？年収は？現在の彼氏は？

数学をしているとよく見かける言葉「位相（トポロジー）」.

意味や定義をよく知らずに使っている方も多いのでは？

数学といえばトポロジー！

せっかくなので調べてみました！

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とまあ茶番はこれくらいにして.

偉い人に脅されたので位相のことをもっとみんなに知ってほしかったので, この記事を書くことにしました.

位相, 数学科はだいたい2年次くらいで習うと思うのですが, 抽象性が結構高いというか, 初めて触れた人にはこんなことやって何が嬉しいのか全くわからないがちだと思います.

僕も最初はそうだったんですけど, 最近位相を使いまくってる感じになってきたので（僕の知っている限りではありますが）その有用性について書いていこうと思います.

トポロジーの年齢は？年収は？現在の彼氏は？
定義
近傍系
具体例
- ・連続写像
  - 補足
- ・Hausdorff性とコンパクト
おまけ
- 装甲悪鬼村正
最後に
References

定義

ざっくりとした説明で済ませるつもりではあるんですが, 一応ちゃんとした定義を書いておきます.

$Sを集合, \ \mathfrak{O}を2^Sの部分集合とする.$

$この組(S,\mathfrak{O})が位相空間であるとは,\ 次の3条件を満たすことである.$

$(O1):\ S,\varnothing\in\mathfrak{O}$

$(O2):\ \forall O_1,O_2\in\mathfrak{O},\ O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$

$(O3):\ \forall \{O_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset\mathfrak{O},\ \displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$

$この\mathfrak{O}を開集合系といい,\ その元を開集合という.$

はい. やったことある人にはお馴染みのやつです. ですが慣れていない人はこれを定義だと言われても「はいそうですか」とはいかないと思います. 数学って結構こんな感じで定義をどーんと出されてとりあえず認めて先に進むってことが多くて, 位相は最初に学ぶそういう感じのやつになりがちなので難しいわけですね.

これは位相に限らず数学全体に言えてくることなんですが, まず集合を与えて, それに何かを"入れる"っていうのがよく出てきます. 入れるものは上のような位相であったり, 演算であったり（群とか環とか）, アトラスっていうかっこいい名前のやつであったり（多様体）します. 集合だけだとできることがあんまり無くて嬉しくないからですね.

開集合の話に戻ります. こういう抽象的な定義ではありますが, イメージとしては”フチのない集合”みたいな感じで基本的に大丈夫です. ただ注意しなきゃいけないポイントが1つあって, 全体集合 $S$ と空集合 $\varnothing$ は開集合ってことですね. それと, 閉集合ってのもありまして, こいつは逆に全部のフチがついている集合です（厳密には開集合の補集合）.

近傍系

位相の決め方は他にも色々あるんですけど, 一番シンプルなのでこの開集合系で定める手法がよく使われます. ですが開集合そのものが嬉しいわけではあんまりなくて, そこから定められる”近傍系”ってのがめちゃくちゃ便利なんですね～

近傍系っていうのは, その点の”ご近所”（集合）を集めた集合族のことで, 全ての点ごとに決まっています. あくまでご近所だってことがわかるだけで, その点とどれくらい近いかがわかるとは限りません. これだけだとわかりにくいと思うので「家」で例えてみますと, ある家の近傍（近所）っていうのは「街」であったり「都道府県」であったりはたまた「地球」であったりします. 感覚的に”近所”とは言いにくいものでも数学的には近所なんですね.

この説明だと”その点を含む集合”は全部近傍なのでは？って思うかもしれません. ですがそうではなくて, まあこれもざっくりしてるんですけど, 「その点がフチにあったら近傍じゃない」っていうイメージをしてください. その点からちょびっとだけなら離れても近傍の中には入ったままって感じですね.

で, こいつがどんな風に使われるかっていうと, 「どんな近傍をとっても」みたいなのが多いです. これのお気持ちとしては, 「どれだけ小さい近傍をとっても」すなわち「どれだけ近い点に対しても」って感じです. さっき近さが決められるとは限らないって言ったんですが, 「いくらでも近く」に点をとれるっていうことですね.

具体例

「いくらでも近く」っていうのを定義できたら何が嬉しいのかを具体的な例を挙げて説明していきます.

・連続写像

$I\subset\mathbb{R}を区間,\ f:\ I\to\mathbb{R}を関数とする.$

$fがa\in Iで連続であるとは,\ 次の条件を満たすことである.$

$\forall \varepsilon \gt 0,\ \exists \delta \gt 0,\ \forall x\in I,\ |x-a|\lt\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|\lt\varepsilon$

親の顔より見た数式って感じですね. 大学に入ったばっかで, 高校数学の感覚が抜けきっていない数学科の1年生の心をへし折ってくるやつです. 見た目はいかついですが言っていることは

$正数\varepsilon がどれだけ小さくとも,\ それに応じてxをaに十分近づければ,$

$f(x)とf(a)の距離は\varepsilon 未満になる$

って感じです. 出ましたね, 「どれだけ小さくとも」とか「十分近づければ」とか.

これはユークリッド空間っていうとっっっても良い性質をもった空間でしか定義されていないので, もっとざっくりとした空間にもこの”連続”っていう概念を拡張したくなってきます. さて, この $\varepsilon$ とか $\delta$ とかの式を近傍の言葉に書き換えてあげるとこうなります.

$S,S'を位相空間,\ f:S\to S'を写像とする.$

$fがa\in Sで連続であるとは,\ 次の条件を満たすことである.$

$\forall N'\in\mathcal{V}(f(a)),\ \exists N\in\mathcal{V}(a),\ f(N)\subset N'$

$(\mathcal{V}(a)は,\ aの近傍系という意味です)$

これで位相空間にまで連続という概念が拡張できました. これが意味するのは,

$f(a)の近傍N'をどれだけ小さくとっても,\ それに応じてaの近傍Nを十分小さくとれば,$

$f(N)はN'に含まれる$

ということです. 言っていることは変わっていないと思います. こんな風に”近さ”（注：”距離”のような具体的なものではない）の概念を拡張できる, っていうのが位相の素晴らしいポイントのひとつですね.

補足

位相空間上の連続写像の定義について, 多くの本では「開集合の逆像が開集合になる」というように導入されます. この定義とさっきの定義は同値になるので（確かめよ）, まあどっちでもいいっちゃどっちでもいいんですが, この定義だと「ある点において連続」が言いにくかったり, また直感的じゃなかったりするので, こんな風に $\varepsilon-\delta$ 論法に近いかたちで説明しました. 連続写像の定義は他にもいろいろあるので, 気になった人は調べてみてください.

・Hausdorff性とコンパクト

分離公理とか連結性とかについても話そうと思ってたんですが, なんか分量がヤバいことになりそうなのでやめておきます. ということで次の記事で扱う多様体に繋げるための「Hausdorff空間」と, なんかめっちゃでてくる「コンパクト」について説明します.

じゃあまず定義から.

$位相空間Sが\mathrm{Hausdorff}空間であるとは,\ 次を満たすことである.$

$Sの任意の相異なる2点について,\ それらの近傍で互いに交わらないものが存在する.$

まあざっくりいうと「違う点同士を分離する集合があるよ」ってことですね. 「当たり前だろ」って思う人が多数だと思いますが, そこが嬉しいんです. 一般の位相空間っていうと, 自由度が高すぎて割と何でもありっていうか, 本当に極端な例を挙げると,

・密着位相：開集合系が全体集合と空集合のみからなる位相

・離散位相：開集合系が冪集合となっている位相

みたいなのも位相になっちゃいます. こんなん調べてもあんまり嬉しくないので, ある程度の”制限”みたいなものを設けることが多々あります. その中に「分離公理」ってのがあって, このHausdorff性は第2分離公理ってやつです. 他のには深入りしないでおきますが, 1だと弱すぎて, 3以降だと強すぎるんだと思います, 多分（正直詳しく知らない）. まあなんか点と点を分離できるのが嬉しいって感じです.

こいつはコンパクトを絡めるとちょっと嬉しいところが見えてきます. じゃあコンパクトの定義を紹介します.

$位相空間Sの部分集合Mがコンパクトであるとは,\ 次を満たすことである.$

$Mの任意の開被覆に対して,\ その中から有限個を取り出してMの開被覆とすることができる.$

$Sがコンパクトになるとき,\ Sをコンパクト空間という.$

（Mの）開被覆って何？っていうのも説明しておきますと, 開集合からなる集合族のことで, そいつら全部の和集合を取るとMを含んでくれるもののことです. この概念は結構難しいと思うのでわかんない人は読み飛ばしちゃって大丈夫です. 開被覆っていうのは一般的には無限個あることも全然あるんですが, Sがコンパクトだったらどんな開被覆に対してもその中から有限個を選んでまたSを覆うことができるってわけですね. これ, 結構強いことを言っていて, 与えられた集合がコンパクトであることを言うのはなかなか難しかったりします. なので, コンパクト性があるとなにが嬉しいのか, っていうのが主題だったりします.

さて, 実際に嬉しさを象徴する定理を紹介していきたいと思います.

定理1

$\mathrm{Hausdorff}空間において,\ コンパクト（部分）集合は閉集合である.$

Hausdorff性を課してやれば, コンパクト $\Rightarrow$ 閉集合っていう関係が成り立ってくれます. 逆は成り立つのかって？まあそう焦らずにもうちょっと待ってね.

定理2

$コンパクト集合に含まれる閉集合はコンパクトである.$

これはHausdorff性はいりません. なんかコンパクトと閉集合に深い関係がありそうな気がしてきましたね.

定理3

$コンパクト集合の連続写像による像はコンパクトである.$

実は, 開集合（または閉集合）の連続像は開集合（閉集合）になるとは限りません. ですが, コンパクト性は連続写像によって保存されてくれます. 嬉しいですね.

そして次がおそらく最強の定理です.

定理4

$ユークリッド空間\mathbb{R}^nにおいて,\ 有界閉集合とコンパクトは同値である.$

さきほど定理1で, Hausdorff空間においてはコンパクト $\Rightarrow$ 閉集合が成り立つと言いましたが, この定理はユークリッド空間ならその逆が成り立ってくれることを主張しています. そう, ユークリッド空間ぐらいにまで条件を強めてやると, このコンパクトっていうよくわからない概念と, 有界閉集合っていう慣れ親しんだ概念が一致してくれるんです. 凄くない？（素）

他にもいろんな定理があって, いろんな嬉しさがあるんですけど, これくらいにしておきます. 最後に1つ, みんな知ってるあの定理が拡張されるってのを紹介して終わりたいと思います.

定理5（最大・最小値の定理）

$Sを位相空間,\ M\subset Sをコンパクト集合,\ f:M\to\mathbb{R}を連続関数とする.$

$このとき,\ fには最大値と最小値が存在する.$

有界閉区間上の連続関数には最大値と最小値が存在する, っていうのは有名ですが, これをもうちょい拡張できます. コンパクトはえらいですね.

おまけ

なんか偉い人に「好きなエロゲノベルゲームについて書け」ってとっても怖く脅されたのでおすすめをひとつ紹介します.

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これは英雄の物語ではない。英雄を志す者は無用である。
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彼は殺すのだ。悪だけでなく、悪に虐げられていた善良な人々をも。……これは驚くべきことであろうか？　否。

何故なら彼の劔冑の銘は勢洲右衛門尉村正。

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本作は、「劔冑」という特異な鎧から強大な力を与えられた戦士「武者」が支配する世界を舞台に、混沌の時代とその渦中で生きる人々の姿を、そして深紅の武者「村正」を軸にして繰り広げられる激しい斗争を描いたノベルゲームです。

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まあ概要は上に書かれている通りなので, 僕が個人的に好きだったポイントを書いていきます.

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この作品のライターさんである「奈良原一鉄」様なのですが, なんと古流剣術の師範代で, 刀やら斬り合いやらにめっちゃ詳しいんです. そんな彼による戦闘描写は他とは一線を画す精密さを備え, 読み合いの心理描写や実際の剣術に基づく合理的な戦術解説によりまるでその場にいるかのような緊張感を生み出します. ただその分スピード感が失われるので, 人を選ぶところもあります.

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あ, 最後に一つ, 攻略サイトを見るなとは言いませんが（終盤に見ないと無理だろって所があるので）, とりあえず1つのエンドに到達するまでは見ないことをおすすめします. 攻略情報そのものがネタバレになりかねません.